信号与系统-第三章 连续信号与系统的频域分析

《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB南京邮电大学信号分析与信息处理教学中心2017.9SIGNALSANDSYSTEMS信号与系统第三章连续信号与系统的频域分析《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB第三章连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析概述3.1周期信号分解为傅里叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的频谱3.5一些常见信号的频域分析3.6傅里叶变换的性质及其应用3.7相关函数与谱密度3.8连续系统的频域分析3.9信号的无失真传输和理想滤波器3.11取样定理本章要点作业返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB连续信号与系统的频域分析概述实际的信号都可以表示为一系列不同频率的正弦信号之和–这一认识来源于对波形的观察，物理意义明确。–正弦信号是最常见、最基本的信号。–正弦信号便于产生、传输和处理。–线性时不变系统在单一频率的正弦信号激励下，其稳态响应仍是同一频率的正弦信号。–三角函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数。傅里叶变换揭示了信号内在的频率特性以及信号的时间特性与频率特性之间的关系。本章的重点就是从物理意义上理解傅里叶变换的性质。频谱分析直观、方便地从另一个角度来认识信号。频域分析法求解系统在任意信号激励下的零状态响应。其它频谱、带宽、无失真传输、调制定理、抽样定理等返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB3.1周期信号分解为傅里叶级数周期信号的表达式T为该信号的周期，是满足上式的最小非零正值。，为该信号的角频率。周期分别为T1,T2的两个周期信号相加，当T1,T2之间存在最小公倍数T时，所得到的信号仍然为周期信号，其周期为T。即T=n1T1=n2T2，其中n1和n2为整数，或者说n2/n1为有理数。为整数nnTtftf)()(T20返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB例：判断下列信号是否为周期信号，如果是周期信号，试计算其周期。)67cos(5)32cos(32)()1(211tttf。的最小公倍数是其周期为周期信号。为有理数，故解：12,)(472111221TTTtfTT)sin(5)2cos(2)()2(212tttf不是周期信号。为无理数，故解：)(2,2,22121tfTTTT)26cos(7)23cos(3)()3(213tttf。周期为是周期信号，为有理数，故解：232)(2,262,23232121tfTTTT《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB3.1.1三角型傅里叶级数以为周期的周期信号，若满足狄里赫勒条件：(1)在一个周期内只有有限个不连续点；(2)在一个周期内只有有限个极大值、极小值；(3)在一个周期内绝对可积，即ftdtTT()22则可以展开为三角型傅里叶级数)(tfT)sincos()(1000nnntnbtnaatf其中,2,1sin)(20ntdtntfTbTnTdttfTa)(10,2,1cos)(20ntdtntfTaTn返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB)cos(sincos000nnnntnAtnbtna因为所以傅氏级数又可写成工程上更为实用的形式100)cos()(nnntnAAtf次谐波初相次谐波振幅直流分量nabarctgnbaAaAnnnnnn)(2200其中为积分区间。开始，取一个周期表示从任意起始点为傅里叶系数，和为谐波频率，为基波频率，TdtbanTTnn][200《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB信号波形的对称性与傅氏系数的关系1.偶函数：，则只含有常数项和余弦项。ftft()()200cos)(4TntdtntfTa0sin)(2220TTtdtntfTbn200)(2TdttfTa......)(tft0奇函数在对称区间内积分为零。偶函数在对称区间内积分为半区间积分的两倍。《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB2.奇函数：，则只含正弦项。ftft()())(tft00cos)(2220TTtdtntfTan200sin)(4TtdtntfTbn0)(2220TTdttfTa《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB3.偶谐函数：，则只含偶次谐波。)2()(Ttftf周期本来就是T/2。4T2TTt)(tf......04.奇谐函数：，则只含奇次谐波。)2()(Ttftf2TT2T)(tft......0《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB3.1.2指数型傅里叶级数由欧拉公式tjntjntjntjneetneejtn000021cos,21sin00代入三角形傅氏级数，有ftaajbeajbeFFeFennnjntnnnjntnnjntnnjnt()011011220000式中nnnnnnnFjbaFjbaF2,2而是实数。000AaF是一对关于变量的共轭复数，0n返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB于是，考虑到000ntjnneFFtjnnntjnnntjnnntjnnneFeFFeFeFFtf0000110110)(ftFenjntn()0这就是指数型傅里叶级数，其系数,2,1,0)(1220ndtetfTFTTtnjnFn一般情况下，是关于变量的复函数，称为指数型傅里叶级数的复系数，可写成n0nnjnnjIReFFn《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB注意：1.为直流分量，一般情况下要单独计算。000AaF2.负频率分量的出现只是数学上的表达，没有物理意义。nntnjFntnjFntnjntnjnFtnFeeFeeFeFeFnn0cos200003.当是实周期信号时，和互为共轭复数，有)(tfnFnFnnnnnnnnIIRRFF,;,0n即傅里叶复系数的模和实部是的偶函数；的相角和虚部是的奇函数。nFnF0nft()Fn4.当是实偶函数时，则是实偶函数；当是实奇函数时，则是虚奇函数。（利用的计算公式可以证明）ft()FnFn《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB指数型和三角型傅里叶级数系数之间的关系)0(21)(21neAjbaeFFnnjnnnjnn)0()0(212100022nAaFnabarctgbaAFnnnnnnnnntjnneFtf0)(220)(1TTdtetfTFtjnn物理意义：周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐波分量之和。注意：指数型和三角型傅里叶级数中，n的取值范围不同。返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB例：试将图示周期矩形脉冲信号展开为(1)三角型和(2)指数型傅里叶级数。数项和余弦项。是偶函数，故只含有常解：)()1(tf22)(tftATT)(tfTAAdtTdttfTa202202)(1)2sin(2)2sin(4cos4cos)(2000200022nnAnTnAtdtnATtdtntfTan100cos)2sin(2)(ntnnnATAtf《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB2202201)(1dtAeTdtetfTFtjntjnnTT(2)指数型傅立叶级数2)2sin()2sin(200000220nnTAnnTAjneTAtjn)(sinxSaxx令称为抽样函数或取样函数tjnntjnnnenSaTAeFtf00)2()(0《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB抽样函数Saxxx()sin1.偶函数1sinlim)0(.20xxSax。的规律衰减，并趋于零的振幅按增大，随着xxSax1)(.3，，，过零点：32.4dxxSa)(.5)(xSax221《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB3.3周期信号的频谱ntnjnntjnnnnnneFeFtnAAtf)(10000)cos()(说明周期信号可以分解为各次谐波分量的叠加，傅里叶系数或反映了不同谐波分量的幅度，或反映了不同谐波分量的相位。nAnFnn频谱图清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角度反映了该信号携带的全部信息。返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB3.3.1周期信号的单边频谱和双边频谱)~)~00nnAnn单边相位频谱（单边幅度频谱（单边频谱)~)~00nnFnn双边相位频谱（双边幅度频谱（双边频谱nnAtf,)(nFtf)(2.各（非零）分量的数目不同。nAnFnn3.幅度（）不同，相位（）不同。不同的周期信号，其傅里叶级数的区别在于：1.由于不同，所以基波频率不同，谐波频率也不同。TT200n返回《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB例如某周期信号的傅里叶级数为tjtjtjtjeFeFFeFeFtAtAAtf00002210122)20210102cos()cos()(单边频谱：双边幅度频谱双边相位频谱单边幅度频谱单边相位频谱nA0n00022A1A0An0n0002210n00022F2F1F1FnF0F002n0n00022121002双边频谱：《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB画频谱图时注意：2.三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；；，)0(2.100nAFAFnn；故表示振幅，由于0.3nnAA的奇函数；是偶函数，双边相位频谱的是频谱是实信号时，双边幅度当00)(.4nnFtfnn5.谱线只在基波的整数倍处出现。（思考：为什么？）《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZB例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边频谱。)309cos()606cos(2)9.363cos(529sin219cos236cos6sin33sin33cos42)(ttttttttttfnA0n0369125309.3660n0n0369tttttttf9sin219cos236cos6sin33sin33cos42)(解:(1)单边频谱单边幅度频谱：单边相位频谱：《信号与系统》SIGNALSANDSYSTEMSZBtjjtjjtjjtjjtjjtjjtjtjtjtjtjtjeeeeeeeeeeeeeeeeeettttf93066039.3639.36660930)309()309()606()606()9.363()9.363(5.05.225.25.0][5.0][5.22)309cos()606cos(2)9.363cos(52)(双边幅度频谱：双边相位频谱：nF0n0369125.25.21