高考解析几何专题及-答案

-1-解析几何复习(参考答案)一、典型例题分析例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线1ykx与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若OAOB，求k的值。（变式：若AOB为锐角（钝角），则k的取值范围。）解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(03)(03)，，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴222(3)1b，故曲线C的方程为2214yx．（Ⅱ）设1122()()AxyBxy，，，，其坐标满足22141.yxykx，消去y并整理得22(4)230kxkx，故1212222344kxxxxkk，．若OAOB，即12120xxyy．而2121212()1yykxxkxx，于是22121222233210444kkxxyykkk，化简得2410k，所以12k．例2.已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于A、B两点.（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB的长；（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F1，求△ABF1的面积。-2-解：（1）33,22,33acce即2,322caba则（3分）∴椭圆的方程为12322yx（4分）联立0365:1123222xxyxyyx得消去（5分）212212221221212122114)(])1(1[)()(||53,56),(),,(xxxxyyxxABxxxxyxByxA则设（8分）538512)56(22（10分）（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F1（-1，0），直线AB的方程为x+y-1=0,所以点F1到直线AB的距离d=22|101|211,（12分）又|AB|=835，∴△ABF1的面积S=1||2ABd=183462255（14分）例3.已知动圆过定点(0,2)F，且与定直线:2Ly相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若AB是轨迹C的动弦，且AB过(0,2)F，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明:AQBQ.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)F为焦点，:2Ly为准线的抛物线上……2分因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是28xy………………….5分（II）,ABx直线与轴不垂直:2.ABykx设1122(,),(,).AxyBxy…………….6分-3-22,1.8ykxyx由可得28160xkx，128xxk，1621xx………8分抛物线方程为.41,812xyxy求导得所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是1114kx，2214kx，12121211114416kkxxxx所以，AQBQ二、课后强化训练1.过原点且倾斜角为60的直线被圆学2240xyy所截得的弦长为科网（A）3（B）2（C）6（D）23解析:22,(2)4xxy直线方程y=3圆的标准方程,圆心(0,2)到直线的距离223021(3)(1)d，由垂径定理知所求弦长为*2222123d故选D.2．已知椭圆的中心在原点，离心率21e，且它的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则此椭圆方程为AA．13422yxB．16822yxC．1222yxD．1422yx3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝43x，则双曲线的离心率为（A）53(B)43(C)54(D)32解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得224345,333bceaa可得,故选A4.已知对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆52x+my2=1恒有公共点，则实数m的取值范围是A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）解析：直线y－kx－1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，m1≤1且m＞0，得m≥1.故本题应选C.答案：C5.已知抛物线C：22(0)xpyp上一点(,4)Am到其焦点的距离为174．求p与m的值。-4-解析：由抛物线方程得其准线方程：2py，根据抛物线定义点)4,(mA到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724p，解得21p抛物线方程为：yx2，将)4,(mA代入抛物线方程，解得2m6.已知长方形ABCD,AB=22,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy.(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线l,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为1,2,0,2,0,2.……1分设椭圆的标准方程是012222babyax.……2分则2,2240122012222222aBCACa……4分224222cab.……5分椭圆的标准方程是.12422yx……6分(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为02kkxy.……7分设M,N两点的坐标分别为.,,,2211yxyx联立方程:42222yxkxy消去y整理得,0482122kxxk有12122284,81212kxxxxkk分，…9分OxyABCD图8OxyABCD图8-5-若以MN为直径的圆恰好过原点,则ONOM,所以02121yyxx,……10分所以,0222121kxkxxx,即042121212xxkxxk所以,04211621142222kkkk即,0214822kk……11分得.2,22kk……12分所以直线l的方程为22xy,或22xy.……13分所以存在过P(0,2)的直线l:22xy使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.……14分7．已知椭圆E的两个焦点分别为11,0F、21,0F，点31,2C在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P在椭圆E上，且满足tPFPF21，求实数t的取值范围．（Ⅰ）解法一：依题意，设椭圆E的方程为22221xyab（0ab），由已知半焦距1c，∴221ab．①……2分∵点31,2C在椭圆E上，则221914ab．②……4分由①、②解得，24a，23b．∴椭圆E的方程为22143xy．……6分解法二：依题意，设椭圆E的方程为22221xyab（0ab），∵点31,2C在椭圆E上，∴1224aCFCF，即2a．……3分由已知半焦距1c，∴2223bac．……5分∴椭圆E的方程为22143xy．……6分（Ⅱ）设00,Pxy，由tPFPF21，得-6-00001,1,xyxyt，即22001xyt．③……8分∵点P在曲线C上，∴2200143xy．④由③得22001ytx，代入④，并整理得2042xt．⑤……10分由④知，2004x，⑥……12分结合⑤、⑥，解得：23t．∴实数t的取值范围为2,3．……14分