2015届成都七中高二下理科数学半期考试含参考答案

成都七中2013-2014学年下期2015届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟总分：150分一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）1.已知命题tan1pxRx：，使，以下正确的是（C）(A)tan1pxRx：，使(B)tan1pxRx：，使(C)tan1pxRx：，使(D)tan1pxRx：，使2.抛物线2yx的焦点坐标是（A）（A）（14,0）（B）(14,0)（C）（0,14）（D）（0,14）3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是（B）（A）1203622yx（x≠0）（B）1362022yx（x≠0）（C）120622yx（x≠0）（D）162022yx（x≠0）4．32()32fxaxx,若'(1)4f,则a的值等于（D）A．319B．316C．313D．310答案：'2'10()36,(1)364,3fxaxxfaa5.“m=3”是“椭圆1522myx的离心率510e”的（A）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（A）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy7．当x在(,)上变化时，导函数'()fx的符号变化如下表：x(,1)1（1，4）4(4,)/()fx－0+0－则函数()fx的图象的大致形状为（C）8.已知点A（5，3），F（2，0），在双曲线2213yx上求一点P，使得2PAPF的值最小，则P点坐标为（D）A．（5，62）B．（5，62）C．（2，3）D．（2，3）解：∵a=1，b=3，∴c=2，e=2ca，设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d，则||12,||2PFPFdd即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（2，3）。9．已知抛物线C的极坐标方程：2sin4cos（以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴），焦点为F，直线24yx与抛物线C交于A，B两点．则cosAFB=（B）A45B45C35D35【答案】B【解析】：24(1,0)yxF得，准线方程为1x，由24(1,2),(4,4)24yxAByx得则221212()()35ABxxyy，由抛物线的定义得2,5AFBF由余弦定理得22252(35)4cos2555AFB故选B10.若点P为共焦点的椭圆1C和双曲线2C的一个交点,1F、1F分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e，双曲线离心率为2e，若021PFPF,则222111ee（B）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分）【21】11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为________．解析：∵椭圆x225＋y29＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c＝4.又∵ca＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，∴双曲线方程：x24－y212＝1，∴渐近线方程为y＝±bax＝±3x，即3x±y＝0.答案：3x±y＝0【22】12.已知函数()sincos2fxxxx，则'()4f＝________.答案：28【23】13.已知曲线C的方程是22xy，则曲线C上的点到直线2yx距离的最小值为答案：324【24】14.已知椭圆22221(0)xyabab的右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，则椭圆的离心率e的取值范围为______________答案：212e【25】15.若存在实常数k和b，使得函数()Fx和()Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：()Fxkxb和()Gxkxb恒成立，则称此直线ykxb为()Fx和()Gx的“隔离直线”．已知函数2()hxx，()2ln(mxexe为自然对数的底数)，()2xx，()1dx．有下列命题：①()()()fxhxmx在0,xe递减；②()hx和()dx存在唯一的“隔离直线”；③()hx和()x存在“隔离直线”ykxb，且b的最大值为14；④函数()hx和()mx存在唯一的隔离直线2yexe．其中真命题的是①③④三、解答题（本大题共6小题,共75分，需写出必要的解答或推证过程）16.（本题满分12分）已知函数32()2fxxaxbxc，（Ⅰ）当0c时，()fx在点(1,3)P处的切线平行于直线2yx，求,ab的值；（Ⅱ）若()fx在点(1,8),(3,24)AB处有极值，求()fx的表达式.【26】解：（Ⅰ）当0c时，32()2fxxaxbx.所以2'()34fxxaxb.………..………..2分依题意可得1=3f（）,(1)1f，即341,123,abab解得2,6.ab…………………6分【27】（Ⅱ）由32()2fxxaxbxc.所以2'()34fxxaxb.（xR对于都成立）…………………7分令(1)340(3)27120fabfab，解得3,92ab，由(1)128fabc；3,92ab，可得3c所以32()393fxxxx…………………12分17.（本题满分12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离与它到直线1x的距离相等(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，使得过点M(m,0)且斜率1k的直线与曲线C有两个交点A、B，且满足FA→·FB→0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【28】解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x－12＋y2＝x+1(x0)．化简得y2＝4x(x0)．…………………4分【29】(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．设l的方程为x＝y＋m，由x＝y＋m，y2＝4x，得y2－4y－4m＝0，Δ＝16(1＋m)0，于是y1＋y2＝4，y1y2＝－4m.①………7分又FA→＝(x1－1，y1)，FB→＝(x2－1，y2)．FA→·FB→0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y20.②又x＝y24，于是不等式②等价于y214·y224＋y1y2－y214＋y224＋10⇔y1y2216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋10，………10分③由①式，不等式③等价于m2－6m-30，④即0m3＋23.m的取值范围是(0，3＋23)．………12分18．（本题满分12分）已知函数.2()8ln62xfxxx（1）求函数fx的单调区间；（2）求函数fx在其定义域内的极值。（3）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围.【30】【解析】（1）因为2()8ln6,(0,)2xfxxxx，xxxxf)86()('2当),4()2,0(，x时，0)('xf；当)4,2(x时0)('xf所以fx的单调增区间是),4(),2,0(；fx的单调减区间是)4,2(………4分【31】（2）由（1）知，当x变化时，'(),()fxfx变化情况如下表：x(0,2)2(2,4)4(4,)'()fx00()fx递增8ln210递减16ln216递增所以fx的极大值为(2)8ln210f，极小值为(4)16ln216f.………8分【32】（3）在区间(4,)取216(16)8ln1661632ln232(2)2ff在区间(0,2)取442222()8ln6616(4)22eefeeeef所以在fx的三个单调区间),4(),4,2(),2,0(直线yb有)(xfy的图象各有一个交点，当且仅当)2()4(fbf因此，b的取值范围为.(16ln216,8ln210)………12分19.（本题满分12分）已知椭圆C22:14yx，过点M(0,1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）设点1(0,)2N，求||NANB的最大值.【33】（Ⅰ）解：设A(x1,y1)，因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以1102y，解得11y，………1分又因为点A(x1,y1)在椭圆C上，所以221114yx，即21114x，解得132x，则点A的坐标为3(,1)2或3(,1)2，………3分所以直线l的方程为43330xy，或43330xy.………6分【34】（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则112211(,),(,),22NAxyNBxy所以1212(,1)NANBxxyy，则221212||()(1)NANBxxyy，………7分当直线AB的斜率不存在时，其方程为0x，(0,2),(0,2)AB，此时||1NANB；………8分当直线AB的斜率存在时，设其方程为1ykx，由题设可得A、B的坐标是方程组22114ykxyx的解，消去y得22(4)230kxkx，所以221222(2)12(4)0,4kkkxxk，………10分则121228(1)(1)4yykxkxk，所以222222222812||()(1)1144(4)kkNANBkkk，当0k时，等号成立,即此时||NANB取得最大值1.综上，当直线AB的方程为0x或1y时，||NANB有最大值1.………12分20．（本题满分13分）直线l与椭圆22221(0)yxabab交于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，已知11(,)maxby，22(,)naxby，若mn且椭圆的离心率32e，又椭圆过点3(,1)2，O为原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过椭圆的上焦点(0,)Fc（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；（3）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【35】【解】（1）∵2222321314cabeaaab∴2,1ab∴椭圆的方程为2214yx………4分【36】（2）依题意，设l的方程为3ykx由22223(4)231014ykxkxkxyx显然0121222231,44kxxxxkk由已知0mn得：22121212124(3)(3)axxbyyxxkxkx21212(4)3()3kxxkxx222123(4)()33044kkkkk解得2k………8分【37】（3）①当直线AB斜率不存在时，即2121,xxyy，由已知0mn，得22221111404xyyx又11(,)Axy在椭圆上，所以221111421||,||242xxxy1121111||||||2||122Sxyyxy,三角形的面积为定值.②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为ykxt22222(4)240