有阻力的抛体运动的函数方程

1有阻力的抛体运动的函数方程摘要:本文运用导数、微积分的有关知识建立并解决有阻力的斜抛运动的微分方程，得出各变量间的函数关系，其中还运用了一些简单的物理知识，并通过求极限顺便得出有阻力的竖直上抛，竖直下抛运动和无阻力抛体运动的一些基本函数方程，然后讨论斜上抛运动水平最远射程与抛射角的关系问题，最后取一组简单的数据进行定量计算。关键词:有阻力;函数方程;在研究抛体运动前，先简单说明微分方程的概念和基本解法。⑴一般地，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。在这里，只讨论一类较特殊的微分方程：'()()yfygx()yx是的函数①①式可分离变量得：()()dydxgxfy②②式表示状态量，对两边各状态量累加求和得：0000limlim()()nniyxiiiygxxfy由定积分与微分的和的极限的关系，可将上式改写为()()ooyyyxdygxdxfy③，其中00(),()yYxyYx由③式可解出y与x满足的方程，③式也可写成不定积分的形式()()dygxdxCfy④，其中C为常数，依赖于初值条件。2下面研究问题时就不再像上述一样清晰了，且不常用③式而常用④式.再给出曲线的曲率半径的求法。⑴对于曲线y=Y(x)，为曲线的切线斜率的反正切值，即'21tan,|cos|1yy则⑤'''22tan1(1)cosdyddddyydxddxdxdx3222''1(1)|||||ydxdLyddy曲率半径=|⑥现在开始正式讨论问题：一质量为m的物体，初距水平地面高为h，以V0的速率沿与水平方向夹角为00()22的方向抛出，重力加速度为g，所受空气阻力f大小为k·V，(k0，且为常数)方向与速度方向相反，不考虑物体的转动。求此抛体运动中各变量间的函数方程。过物体初始位置，垂直地面向上建立y轴，过y轴与地面交点建x轴，使物体运动轨迹在xoy平面的第一象限内，即右图。分析问题可知，四个变量：横坐标x，纵坐标y，速率v，时间t中任两个量都可建立函数方程。ⅰ研究物体运动轨迹(设x是自变量，v、y是x的函数)。yhO000fvmgv0x3分析物体受力，可知重力沿曲线的法线分力提供物体沿曲线运动的向心力，即2|cos()|mvmg⑦将⑤、⑥两式代入⑦式中，解得：21yvgy⑧⑧式两边对x求导：'''2'''22112(1)[]21yyyyvgyygy⑨又由能量守恒定律得：22200111()22xkvydxmghymvmv⑩由被积函数与原函数的关系可知：2'20(1)1xkvydxkvy∴⑩式两边对x求导得2''1kvymgymvv：○11将⑧、⑨两式代入○11式化简后得：32'''11''2()dykyydxmg分离变量后积分：32''1''()2()dykdxCmgy解得：12''2()kyxCmg○12考虑初始条件：当x=0时，由⑧式得''000cosgyv○134将○13式代入○12式中得：002cosvCg将C2的值代回○12式，化简后得：''00cosmgykxmv○142''200(cos)mgykxmv同理可再分离变量积分后代初值，得：2'00000tan(cos)cosmgmgykkxmvkv○15同样可求得：2020000(1)tancoscosmgkxmgylnxhkmvkv（I）（2）研究水平方向（设t为自变量，v、x、y、cosθ都是t的函数）由运动的独立性原则，可知摩擦阻力f的水平分量提供水平分运动的加速度，速度v的水平分量为水平分运动的速度。则有：'|cos()|[|cos()|]kvvm○16令()|cos()|tv○17则○16式改写为()()ktdtmdt分离变量求积分：3()()dtkdtCtm解得3ln|()|kttCm○18将○17式代入○18式中得：3ln|cos|kvtCm5∵当t=0时，003ln|cos|lncosvvc将C3的值代入得：00|cos|lncosvktvm○19将⑤、⑧两式代入经化简后得：00''cosktmgevy再将○14式代入得0000coscosktmgmgevkxmv解得：00cos(1)ktmmvxek（II）由（II）式可知x随自变量t的增大而增大，若不限高度h，则t→+时，00cosmvxk，并且x恒小于00cosmvk。且时间很长时，物体运动趋于匀速。将（II）代入（I）式中化简后得：2002sin()(1)ktmmvmgmgyethkkk（III）将、式代入⑧化简得：02222000000000sin(sin)(1)coscoscoskvmgkvxvxvmvmv(IV)再将（II）式代入（IV）式中得：022222200002222sinsin()2kkttmmmgvkvmgmgmgvvemgekkkk（V）至此已得出了（I）、（II）、（III）、（IV）、（V）五个有阻力抛体运动的基本函14156数方程，下面再求出物体能达到的最高处maxy当'()0xy时，由○15式解得：00000sincossinmvxkvmg○20将○20式代入（I）得：200max200sinln()sinmvmgmgyhkkvmgk(VI)(3)在上述讨论中，所得出的方程都是在一般条件下得到的，接下来顺便导出特殊运动的函数方程，因为上述各式中0,k02，因此不能直接导出，下面通过求极限的方法得出三类特殊运动的方程。(a)竖直上抛运动当02时，由（III）知：020022sinlim()(1)ktmmvmgmgyethkkk由正弦函数的连续性可知：202()(1)ktmmvmgmgyethkkk○21同理，由（V）得：20[()]ktmmgmgvvekk若考虑速度v向上为正，向下为负，则可得：0()ktmmgmgvvekk○22由（VI）得20max20ln()mvmgmgyhkkvmgk○23(b)竖直下抛运动7同样，当02时，由（III）求极限得：202()(1)ktmmvmgmgyethkkk○24由（V）式求极限得20[()]ktmmgmgvvekk0()ktmmgmgvvekk○25由○25式知道，若0mgvk，则v恒大于mgk，阻力恒大于重力，且随时间增大而趋近。若0mgvk，则v恒小于mgk，阻力恒小于重力，随时间增大而趋于相等。(c)无阻力抛体运动当k→0时，由（I）式得：000002000cosln(1)coslimtancoskxmvkxkmvmgyxhkv因为k→0时，0000[cosln(1)]0cosxmvkxkmv，同时20k用洛必达法则求极限[1]，将被求根限式的分子、分母对k求导，得00000000001cos()cos1coslimtan2coskxmvxxkmvmvmgyxhkv8化简得：2000000coslimtan2coskxkxkmvmgyxhkv202200tan2cosgxyxhv○26由（II）求极限0000limcos()()tmktmtkmeexmvk由导数的定义得00cos()(1)tmxmv00cosxvt○27将○27式代入○26式中得200sin2gyvtth○28当然，上面三类运动的方程可直接分析原运动，且那样更能简单得出方程，这里只是顺便导出。（4）接着讨论一个实用的问题：当初始抛角0为何值时，水平射程最远。首先，我们知道，当0取(,0]2时，不可能取到最大水平射程，02更不可能。在（I）中取y=0，则有2020000(1)tan0coscosmgkmglnxxxhkmvkv○29设m、g、k、v0均为常数，0为变量，改写为，则x是的函数，02，将○29式两边对求导。92''2220001cos(sin)()tancoscos1cosmgkxxxxkxkmvmv'20cos(sin)0cosmgxxkv化简后得：22'0020000sinsintan()0coscoscoscoskvmgkvxmgxmgmgxxkxmvvkxmvv○30设2000sincoscoskvmgmgAkxmvv，20200sintancoscoskvxmgxmgxBkxmvv当A=0时，则200sincossinmvxkvmg○31同时，由○30式知B=0，此时020cossinmvxkvmg○32或x=0由○29式知x≠0，联立○31、○32两式解得0,2这三值都不合○29式，也不符所设条件02由上述分析：从002A或可知其逆否命题0,02A成立。由此可知A不可能为0，又x不可能为0，102'00cos00sinmvxBxkvmg2220020000coscosln(1)(tan)()0cossincossinmvmvmgkmghkmvkvmgkvkvmg200200sinsinln()0sinsinmvkvmgmgmghkkvmgkmgkv因此，2'00200sinsin0ln()0sinsinmvkvmgmgmgxhkkvmgkmgkv（VII）即当θ取某个值θ1时，（VII）式成立，则'1()0x，此时相应的x是极值，设（VII）式左边为C1（θ），θ为变量，则有1(0)C20102200()ln(ln)2mvmgmgmmgChhkvmgkkkvmgkkvmg在上式括号中，固定mg，设kv0为变量，括号式对kv0求导，可知其为增函数，又kv0=0时，1()02Ch，又由mg的任意性可知1()2C恒大于0。2'010220sincos()()sin(sin)kvmgmgmgCkvkmgkvmg000020cos(sin)cos(sin)(sin)mvkvmgkvmgkvmgkmgkv化简得020'120cos()sin()(sin)mgmvkvCmgkv当02时，'1()C恒大于0，所以1()C=0只有一个解，即θ1。且知这运动一定有最远水平射程，∴与θ1对应的20101cossinmvxkvmg为最远水平射程。11（5）最后，通过代入一组简单数据进行计算。在开始的问题中，取m=5kg,g=10m/s2,h=1000m,θ0=0,v0=100m/s,k=0.1N·s/m，求水平射程。解：将相应的数据代入○29式中225100.1510ln(1)100000.1510010.11001xx化简后得：45000ln(1210)2000xx○33在○33式中可用计算器一一取值，求得左边式子的值，最后得出较精确值。在这里给出另一种途径：设()ln(1)Zuu将它按泰勒级数展开[2]，得：23231111(1)(2)ln