高考数学-复习点拨-如何求不等式恒成立的参数取值范围

如何求不等式恒成立的参数取值范围求不等式恒成立的参数的取值范围，是中学教学的难点之一，也是高考、数学竞赛的热点.本文就此问题的几种基本解决加以论述.一、利用一次函数的性质一次函数y=f（x）=ax+b在x[m，n]上恒大于零的充要条件是：0)(0mfa或0)(0nfa或0)(0)(nfmf（对于y=f（x）=ax+b恒小于零的条件亦可类似给出）.例1若f（x）=（x－1）m2－6xm+x+1在区间[0，1]上恒为正值，求实数m的取值范围.解：考查关于x的一次函数f（x）=（m2－6m+1）x+1－m2恒为正值的充要条件：显然，当m2－6m+1=0时，f（x）0不成立,所以m2－6m+1≠0,依一次函数的性质可知,只要0)0(016m-m2f或0)1(016m-m2f解得－1m31.故对于一切[0,1]x恒有f（x）0的m的取值范围是{m∣－1m31}.例2对任意的a[－1，1]，函数f（x）=x2+（a－4）x+4－2a的值总大于零，求x的取值范围.解：f（x）可变形为g（a）=（x－2）a+x2－4x+4.于是该题就变成：当a[－1，1]内任意取值时，g（a）恒大于零，求x的取值范围，因g（a）是一次函数，所以g（a）在[－1，1]上为正，只要023)1(065)1(22xxgxxg故x1或x3.说明:在不等式恒成立的问题中,若主元(或参数)能变为一次的形式,则我们能利用一次函数的性质来求解.二、利用二次函数的单调性任何一个一元二次不等式总可以化为ax2+bx+c0(a0)的形式,由二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,我们不难得出以下两个结论:(1)ax2+bx+c0(a0)在R上恒成立的充要条件是△0.(2)ax2+bx+c0(a0)在区间[m，n]上恒成立的充要条件是,02,0)(,0abnf或,2,0)(,0mabmf或△0.例3设f（x）=x2－2ax+2,当xR时,都有f（x）≥a恒成立,求a的取值范围.解:设F(x)=f（x）－a=x2－2ax+2－a,则问题转化为:当xR时,F(x)≥0恒成立,只要△=4(a－1)(a+2)≤0故－2≤a≤1.例4设f（x）=x2－2mx+2,当x[－1,+∞]时,都有f（x）≥a恒成立,求m的取值范围.解:设F(x)=f（x）－m=x2－2mx+2－m,则问题转化为:当x[－1,+∞]时,F(x)≥0恒成立.(1)当△=4(m－1)(m+2)0即－2m1时,对一切x[－1,+∞]总有F(x)0成立.(2)△=4(m－1)(m+2)≥0时,由图1可知,F(x)≥0充要条件是,122,0)1(,0mF1030)2)(1(mmmm－3≤m≤－2.综上所述可知,m的取值范围是m[－3,1].三、分离参数若关于x的不等式f(x,k)≥0(或f(x,k)≤0)①在区间I上恒成立,要求实参数k的范围.如果能将不等式①化为F(k)≥G(x)(或F(k)≤G(x))的形式,且可求出G(x)在区间I上的最大(最小)值,那么不等式①在区间I上恒成立的充要条件是:F(k)≥max{G(x)}(或F(k)≤min{G(x)})例5若x(－∞,－1],1+3x+(t－t2)·9x0恒成立,求实数t的取值范围.解：原不等式t－t2xx913,则t－t2max{xx913}①令y=xx913=－xx)31()31(2=－2－(设=x)31().由x(－∞,－1]得[3,+∞）,y=－2－在[3,+∞）上最大值为－12,代入①得t－t2－12,解得－3t4.故实数t的取值范围为{t∣－3t4}.例6设f（x）=lg3421axx,其中aR,如果x(－∞,1]时,f（x）有意义,求实数a的取值范围.解:由题意,不等式axx4210对x(－∞,1]恒成立,即有amax{－xx)21()41(}①令y=－xx)21()41(=－2－在[21,+∞）上的最大值为－43,代入①得a－43,故a的取值范围为{a∣a－43}.四、数形结合例7当0≤x≤1时,恒有x2+kxk－1,求实数k的取值范围.解:不等式可化为x2+1－k(x－1).作抛物线弧,y=x2+1（0≤x≤1）,作过(1,0)且斜率为－k的直线L:y=－k(x－1),(如图2)则只需求使位于直线L上方的k的取值范围即可.这由直线L的斜率－kkCA=－1即知,∴k1.以上四种方法是不等式恒成立的参数取值范围的基本方法.此外,还有一些方法,如讨论法、参数法、判别式法、待定系数法等等.