2000年考研数学试题详解及评分参考

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000年数学试题详解及评分参考2000年•第1页2000年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)1202xxdx-=ò.【答】应填4p.【解】11222200021(1)1sincos4xxdxxdxxttdtpp-=---==òòò令(2)曲面2222321xyz++=在点()1,2,2-的法线方程为.【答】应填122146xyz-+-==-.【解】令222(,,)2321Fxyzxyz=++-，则(1,2,2)1,(1,2,2)4,(1,2,2)6xyzFFF¢¢¢-=-=--=.故所求的法线方程为122146xyz-+-==-.(3)微分方程30xyy¢¢¢+=的通解为.【答】应填221cycx=+.【解】令py¢=，则330,.pppCxx-¢+==因此3221122().22CCCyCxdxCxCCx--==-=+=-ò(4)已知方程组÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ-+03121232121321xxxaa无解，则a=1-.【答】应填1-.【解】非齐次线性方程组无解的充要条件是系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，但对于未知数个数与方程个数相等的方程组来说，可先考察系数矩阵的行列式为0的情形.令系郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000年数学试题详解及评分参考2000年•第2页数矩阵的行列式为0，解得1a=-或3.当1a=-时，系数矩阵的秩为2，增光矩阵的秩为3，故方程组无解；当3a=时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩也为2，故方程组有无穷多解，因而3a=不符合条件.(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为91，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则()PA=.【答】应填23.【解】依题意，有()1/9PAB=，()()PABPBA=.因事件AB、相互独立，故有()()1/9PAPB=.又由()()PABPBA=，有()()()()PAPABPBPAB-=-，即()()PAPB=，于是有2[()]1/9PA=，()2/3PA=.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1)设(),()fxgx是恒大于零的可导函数,且0)()()()(¢-¢xgxfxgxf,则当axb时,有(A))()()()(xgbfbgxf(B))()()()(xgafagxf(C))()()()(bgbfxgxf(D))()()()(agafxgxf【答】应选(A).【解】因0)()()()(¢-¢xgxfxgxf，2()()()()()[]0()()fxfxgxfxgxgxgx¢¢-¢=，因此()()fxgx单调递减，于是当axb时,有()()()()()()fafxfbgagxgb，故应选(A).(2)设:S()22220xyzaz++=³，1S为S在第一卦限中的部分，则有(A)òòò=14SSxdSxdS(B).41òòò=SSxdSydS(C)òòò=14SSxdSzdS(D)òòò=14SSxyzdSxyzdS【答】应选(C).【解】注意到S为球面的z0³部分，所以在S上x与y轮换对称，故选项(A)与(B)本质上一样的.而(A)的左边，被奇函数是x的奇函数，S又对称于yoz平面，故0SxdS=òò，又显然(A)的右边10SxdSòò，所以选项(A)与(B))都应排除；同理，在选项(D)中，有0SxyzdS=òò，0SxyzdSòò，故也应排除.所以只能选(C).事实上，由于S关于yoz郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000年数学试题详解及评分参考2000年•第3页平面和xoz平面都对称，故14SSzdSzdS=òòòò，又显然在1S上，x与z为轮换对称，所以14SSzdSxdS=òòòò，故选(C).(3)设级数å¥=1nnu收敛，则必收敛的级数为(A)()å¥=-11nnnnu(B)å¥=12nnu(C)()å¥=--1212nnnuu(D)()å=++11nnnuu【答】应选(D).【解】由于å¥=1nnu未必是正项级数，故不能保证选项(A)和(B)的正确性；而选项(C)的通项并不是两个收敛级数通项的差，故也应排除；对于选项(D)，显然其通项是两个收敛级数11nnu¥+=å与å¥=1nnu的通项的和，故由收敛级数的性质知，应选(D).(4)设n维列向量组12,,maaaL()mn线性无关，则n维列向量组,1b…mb线性无关的充分必要条件为(A)向量组12,,,maaaL可由向量组12,,,mbbbL线性表示(B)向量组12,,,mbbbL可由向量组12,,,maaaL线性表示(C)向量组12,,,maaaL可由向量组12,,,mbbbL等价(D)矩阵12(,,,)mAaaa=L与矩阵12(,,,)mBbbb=L等价【答】应选(D).【解】通过取反例12(1,0,0,0),(0,1,0,0)TTaa==，12(0,0,1,0),(0,0,0,1)TTbb==，可排除选项(A)、(B)、(C).故只能选(D).事实上，选项(D)的充要条件是两向量组的秩相同，而12,,,maaaL的秩为m，这正是12,,,mbbbL线性无关的充要条件.(5)设二维随机变量()YX,服从二维正态分布，则随机变量XYx=+与YX-=h不相关的充分必要条件为(A)()()EXEY=(B)2222()[()]()[()]EXEXEYEY-=-(C)22()()EXEY=(D)2222()[()]()[()]EXEXEYEY+=+【答】应选(B).【解】随机变量x与h不相关Û0xhr=Ûcov(,)0xh=Û()EEExhxh=×Û22()[()][()]EXYEXYEXY-=+×-Û2222()()[()][()]EXEYEXEY-=-Û2222()[()]()[()]EXEXEYEY-=-，故选(B).郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000年数学试题详解及评分参考2000年•第4页三、(本题满分5分)求1402sinlim()1xxxexxe®+++.解：因14344002sin2sinlim()lim()111xxxxxxxexeexxxee++--®®-+++=+=++，……2分1144002sin2sinlim()lim()21111xxxxxxexexxxee--®®+++=-=-=++，……4分故原式1=.……5分四、(本题满分5分)设(,)()xyzfxygyx=+,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求yxz¶¶¶2.解：1221'zyyffgxyx¶¢¢=+-¶，……2分2111122212222223111()()zxxyfyxfffxffggxyyyyyxx¶¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢=+--+---¶¶121122232311'xyffxyffggyyxx¢¢¢¢¢¢¢¢=-+---.……5分五、(本题满分6分)计算曲线积分I=ò+-Lyxydxxdy224，其中L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周(1)R.取逆时针方向.解：2222,44yxPQxyxy-==++.222224,(,)(0,0)(4)PyxQxyyxyx¶-¶==¹¶+¶.……1分作足够小椭圆:Ccos2sinxydqdqì=ïíï=î（[0,2]qpÎ，C取逆时针方向）.……2分由格林公式有2204LCxdyydxxy-+-=+òÑ，……4分即得212222222044LCxdyydxxdyydxdxyxypdqpd--===++òòòÑÑ.……6分六、(本题满分7分)设对于半空间0x内任意的光滑有向封闭曲面S，都有郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000年数学试题详解及评分参考2000年•第5页()()òò=--Sxzdxdyedzdxxxyfdydzxxf,02其中函数()xf在(0,+¥)内具有连续一阶导数,且().1lim0=+®xfx求()xf解：由题设和高斯公式得20()()xSxfxdydzxyfxdzdxezdxdy=--òòÒ2(()()())xVxfxfxxfxedV¢=±+--òòò，……1分其中V为S围成的有界闭区域，当有向曲面S的法向量指向外侧时，取“+”号，当有向曲面S的法向量指向内侧时，取“－”号.由S的任意性，知2()()()0,0xxfxfxxfxex¢+--=，……2分即211()(1)(),0xfxfxexxx¢+-=.按一阶线性非齐次微分方程通解公式，有11(1)(1)21()[]dxdxxxxfxeeedxCx--òò=×+ò21[.]()xxxxxeeexedxCeCxxx-=+=+ò.……5分由于200lim()lim1xxxxeCefxx++®®+==，故必有20lim()0xxxeCe+®+=，即10C+=，从而1C=-.于是()(1)xxefxex=-.……7分七、(本题满分6分)求幂级数()å¥=-+1231nnnnnx的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.解：因为1112[1()][3(2)]13limlim2[3(2)](1)33[1()](1)3nnnnnnnnnnnn++®¥®¥++-+-==+-++-+，……2分所以收敛半径为3，收敛区间为(3,3)-.……3分当3x=时，因3113(2)2nnnnn×+-，且11nn¥=å发散，所以原级数在点3x=处发散.……4分当3x=-时，因为(3)1121=(1)3(2)3(2)nnnnnnnnnn-×--×+-+-，且1(1)nnn¥=-å与1213(2)nnnnn¥=×+-å都收敛（后者可用比值判别法判定），所以原级数在点3x=-收敛.……6分八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体，0p是此球的表面上的一个定点，球体上任意一点的密度与该郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000年数学试题详解及评分参考2000年•第6页点到0P距离的平方成正比（比例常数0k），求球体的中心位置.解一：记所考虑的球体为W，以W的球心为原点，射线0OP为正x轴建立直角坐标系，则点0P的坐标为(,0,0)R，球面的方程为2222xyzR++=.设W的重心位置为(,,)xyz，由对称性，得0,0yz==，……2分222222[()][()]xkxRyzdVxkxRyzdVWW×-++=-++òòòòòò.而2222222[()]()xRyzdVxyzdVRdV=+++òòòòòòòòò2255220004328sin315RddrrdrRRppqjjpp=×+=òòò，……4分2222[()]2xxRyzdvRxdVWW-++=-òòòòòò222628()315RxyzdVRpW=-++=-òòò.……6分故4Rx=-.因此.球体W的重心位置为(,0,0)4R-.……7分解二：记所考虑的球体为W，球心为°O，以定点0P为原点，射线°0PO为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为2222xyzRz++=.设W的重心位置为(,,)xyz，由对称性，得0,0xy==，……2分222222()()kzxyzdVzkxyzdVWW++=++òòòòòò.222()xyzdVW++òòò2cos4522000324sin15RddrdrRppjqjjp==òòò……4分222()zxyzdVW++òòò2cos5220004sincosRddrdrppjqjjj=òòò6762064cossin33RdRppjjjp8==ò，……6分故54Rz=.因此.球体W的重心位置为5(0,0,)4R.……7分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2000年数学试题详解及评分参考2000年•第7页九、(本题满分6分)设()fx在[0,]p上连续，且00()0,()cos0fxdxfxxdxpp==òò，试证：在[0,]p内至少存在两个不同的点12,xx，使12()()0ffxx==.证一：令0()()0xFxftdtxp=££