79高等数学

1数学是科学的大门和钥匙.—培根(AdvancedMathematics)注：该课件针对同济大学应用数学系编著的《微积分》（上、下）（面向21世纪课程教材）21、GeorgeB.Thomas等，《托马斯微积分》（第10版）（上、下），高教出版社，20042、PeterV.O’Neil，《高等工程数学》（第5版）（上、下册），高教出版社，20043、R.柯朗，F.约翰，《微积分和数学分析引论》第一卷（1-3册)，科学出版社，20014、R.柯朗，F.约翰，《微积分和数学分析引论》第一卷（1-2册），科学出版社，2001理工科高等数学教学参考书：35、同济大学数学教研室，《高等数学》（第4版）（上、下册），等教育出版社，19986、同济大学数学应用数学系，武汉科技学院数理系，《微积分》学习指导书，高教育出版社，20017、同济大学数学应用数学系，《高等数学习题集》，高等教育出版社，19968、同济大学数学应用数学系，《微积分》（上、下册），高等教育出版社，199949、钱本昌，《高等数学解题过程的分析和研究》，科学出版社，199610、菲赫金哥尔茨，《微积分教程》第一卷（1－3分册），高等教育出版社，195611、菲赫金哥尔茨，《微积分教程》第二卷（1－3分册），高等教育出版社，195612、菲赫金哥尔茨，《微积分教程》第三卷（1－3分册），高等教育出版社，1956513、张荫南等，《高等数学》，高等教育出版社，200014、萧树铁等，《数学实验》，高等教育出版社，199915、王丽燕等,《高等数学》，大连理工大学出版社，200216、李心灿等，《高等数学概观》，知识出版社，198917、施吉林等，《实验微积分》，高等教育出版社，施普林格出版社，20016大学文科数学教学参考书：2、魏文展，《文科高等数学基础》，华东师范大学出版社，20023、萧树铁等，《大学数学》（一、二），高等教育出版社，20001、E.克拉默著，周仲良等编译,《大学数学》，复旦大学出版社，19877集合映射小结思考题作业函数第一章函数与极限第一节映射与函数(functionandlimit)(set)(mapping)(function)第一章函数与极限81.集合(set)概念与记号具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该映射与函数一、集合集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母,,,MBA等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.,,,mba;AaAa,的元素是若Aa否则记记作.Aa,Aa属于则说或9映射与函数集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法把集合的全部元素一一列出来,例考察由下列元素9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,A可以用列举法将其表示成9,8,7,6,5,4,3,2,1,0列举法有很大的局限性.组成的集合A}{外加花括号.有限个元素例如，xOy平面上适合方程的点(x,y)的全体组成的集合，无法用列举法表示221xy10xPx具有性质映射与函数如:由不超过1010的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P的办法来表示集合,就是描述法.}{M花括号中竖线前的x而竖线后x是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.Px具有性质可用列举法表示为}.032{2xxx0322xx的根组成的集合也可用描述法表示为,3,1例由方程11映射与函数注对几个常用的数集规定记号如下数集的字母的数集内排除0的集.“”“”数集内排除0与负数的集.全体非负整数即自然数的集合N};,,,2,1,0{n即N,全体正整数的集合为N+};,,,2,1{n全体整数的集合记作Z,即Z};,,,2,1,0,1,2,,,{nn右上角标上:12映射与函数全体有理数的集合即Q;qpZ,pN+q互质与且qp全体实数的集合R＊为排除0的实数集,R+为全体正实数的集.记作Q,记作R,全体复数的集合记作C,即CR,}1,{2ibabia13,Ax若的是BA两个集合,2,1A.BA中的每一个元素都属于一般地,BA若.BA},2,1{A如},023{2xxxB.BA则,Bx则必映射与函数子集则称集合A与B相等,4,3,2,1BBA记作则称2.集合(set)的关系及集合的运算(1)集合的关系子集,(读作A包含于B)或AB(读作B包含A).集合相等,AB且记作14映射与函数).(记作如}01,{2xRxx空集.不含任何元素的集合称为,BABA且若则称的是BA真子集记作A.B如NZQR.真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.15映射与函数2.集合(set)的关系及集合的运算集合的基本运算有三种:并集,交集,差集.即};{BxAxx或记作设A,B是两个集合,由所有属于A称为A与B的并集,ABA∪BA∪B,(2)集合的运算于B元素或者属组成的集合,16映射与函数称为A与B的记作即};{BxAxx且交集,由所有既属于A由所有属于A称为A与B的差集,记作即,BABA}.{BxAxx且又属于B元素ABAB集合的基本运算有三种:并,交,差.A∩BA∩B,组成的集合,而不属于B的元素组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集推广并与交.17映射与函数注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作.CA例如,,6,5,4,3,4,3,2,1BA设则BA.2,1,6,5,4,3,2,1,4,3余集或补集.A∪BA∩B并用I表示,称为全集或基本集,并把差积特别称为A的AI例如,在实数集R中,集合}10{xxA的余集CA10xx或}.{x183.集合(set)的运算法则映射与函数CBA,,设为任意三个集合,则下列法则成立:(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)对偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪BC;19映射与函数(5)幂等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=.4.直积(乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家(Descartes1596~1650年)设A,B是两个集合,则称}{BA),(yxAxBy且为A,B的直积.如,),1,1(ABA则),({yx}10,11yxOxy111],1,0[B又如,即为xOy面上}R,),({RRyxyx全体点的集合,RR常记作,R2即R.RR2xyOABBA205.区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数..ba且}{bxax称为),(ba记作}{bxax称为],[ba记作这两个实数叫做区间的端点.,都是实数和设ba映射与函数开区间,闭区间,xOabxOab21}{bxax}{bxax称为),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxb有限区间无限区间映射与函数半开半闭区间.全体实数的集合R也可记作),,(是无限区间.xOaxOb22映射与函数区间长度的定义两端点间的距离(线段的长度)称为区间的今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、称它为“区间”,常用I表示.长度.无限区间的场合,注端点、简单地233.邻域(neighbourhood).0,且是两个实数与设a,中心点a为半径),(aU}||{axx的称为点a).,(aU数集即映射与函数邻域,记作它是以.的开区间几何表示:),(表示aU.的全体的一切点距离小于与点xa.}{axaxxOaaa24映射与函数),(aU有时简记为).(aU),,(aU记作的点a,邻域的去心(空心)0.}{axx），aU(即ax开区间开区间的称为a),(aa,邻域左),(aa的称为a.邻域右两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域.如,],[],[dcba],[],,[),(dcybaxyx即为xOy平面上的矩形区域,这个区域在x轴与y轴上的投影分别为闭区间],[ba和闭区间].,[dc254.逻辑符号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号.、“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示“存在”,“至少存在一个”,或“能够找到”.如实数的阿基米德(Archmed)公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,.bna使得用逻辑符号,和将阿基米德公理改写:.bna使得,0,ba,NnAny(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写映射与函数Exist(存在)的字头E的倒写26符号“”表示“蕴含”,或“推出”.符号“”表示“等价”,或“充分必要”.5.绝对值(absolutevalue)00aaaaa)0(a运算性质baabbababababa)0(aaxaxa)0(aax.axax或绝对值不等式映射与函数27映射与函数二、映射1.映射概念(mapping)定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对通过f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映(或算子),记作:f并称y为x(在映射f下)的像,并记作),(xf即),(xfy,YXx称为y的原像.,Xx射定义域即,fD.XDf记28对,Xx元素x的像y是唯一的;映射与函数而对,fRy元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域fR是Y的一个子集,,YRf即不一定.YRf(2)注(1)集合X,即定义域;XDf集合Y,即值域的范围:;YRf对应法则f,使对,Xx有唯一确定的)(xfy与之对应.①②③三个要素:构成一个映射必须具备以下29映射与函数设映射:f.YX,YRf若值域即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f是满射.若,21xx必有),()(21xfxf则称f是单射.若映射f则称f是一一映射(或双射).2.几类重要映射又是单射,,,21Xxx既是满射,30映射与函数例设),,(1X,2,22X),,(1Y].1,1[2Y,:111YXf,:212YXf,:123YXf,:224YXf,sin)(xxfi,1i对应关系:,2,34既非满射,又非单射;满射,非单射;单射,非满射;满射,单射,即为一一映射.对定义域内的任一x,31映射与函数(1)如图,],1,0[X设}.,),({XxxyyxYxOyxyx1令由X到Y的对应关系为:fXx,),(Yxx则f是一个从X到Y的映射.满射,单射,即为一一映射.(2)},,,,2,1{nX设}.,2,,4,2{nY令nn2),,2,1(n则f是一个从X到Y的映射.:f满射,单射,即为一一映射.32映射又称为算子。根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称非空集X到数集Y的映射称为泛函非空集X到它自身的映射称为X上的变换从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数33映射与函数2.逆映射与复合映射设有单射,:YXf则由定义,,fRy对有唯一的,Xx.)(yxf适合于是,可定义一个从,:XRgfXRf到的新映射g,即,fRy对规定,)(xyg这x满足.)(yxf这个映射g称为f的逆映射,记作,1fg其定义域,fR值域