专题课件：数形结合思想

一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。22(2)(1)4xy如等式3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、高考要求新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆三、教学目的①培养学生对形的认识能力、观察能力；让学生理解数形结合在解题中体现出的重要作用；②培养学生由数到形、由形到数的分析、联想、转化能力；让学生理解形、数之间的紧密联系，培养数形结合的意识；③培养学生在知识网络内广泛联系、灵活运用的能力。四、重难点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆重点：①培养学生系统掌握知识、广泛联系、灵活运用的能力；②理解形与数之间的紧密联系，并相互应用，达到化繁为简、降低思维重心的效果。难点:①培养学生由数到形、由形到数的联想结合能力；②培养学生由数到形、由形到数的应用能力。五、例题分析什么情景下想到数形结合？1.常见的数形结合问题时；2.常规方法解答较繁或思路不明确时；3.从问题中发现几何意义：（1）距离，斜率；（2）熟悉的曲线与函数图像；（3）面积、体积等其他几何意义。数形结合思想1.集合及其运算.2.函数图象解决问题.3.三角函数图象及其应用.4.向量运算的有关问题.5.圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的内在联系.6.数学概念及数学表达式间的几何意义的应用.7.解析几何与立体几何问题中的数形结合.1.已知0＜a＜1,则方程a|x|=|logax|的实数根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个解析在同一坐标系下，画出函数y=a|x|，y=|logax|的图象，则图象有两个交点.B2.设数集M={x|m≤x≤m+}，数集N={x|n-≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的长度的最小值为（）A.B.C.D.解析由题意知.集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合{x|0≤x≤1}的“长度”为1；设线段AB=1，，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N.如图，显然当a，b各自靠近4343313131,43ba3132121125AB两端时，重叠部分最短,其值为.答案C3.若奇函数f(x)在（0,+∞）上是增函数，又f(-3)=0，则{x|x·f(x)＜0}等于（）A.{x|x＞3或-3＜x＜0}B.{x|0＜x＜3或x＜-3}C.{x|x＞3或x＞-3}D.{x|0＜x＜3或-3＜x＜0}解析由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足题意的y=f(x)草图，12113143如图，如右图中找出f(x)与x异号的部分，可以看出x·f(x)＜0的解集为{x|0＜x＜3或-3＜x＜0}.答案DA.B.C.D.解析由题意在坐标系下画出|x|+|y|≤1)(31||||,.4取值范围是的变量时满足条件当yxu，yxyx33，3131，3121，2131，的图象如右图阴影部分，①若x=0时，|y|≤1,此时u=0;②若x≠0时，变量可看成点A(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的倒数,而k∈(-∞,-3]∪[3,+∞),答案B31,31.31,00,311，uk综上所述所以3yxu题型一代数问题“几何化”——以形助数【例1】解由题意令所以x2+y2=16(0≤x≤4,0≤y≤4),其图象如右图所示，原式A=x+y其几何意义是直线在坐标轴上的截距，.610的值域求函数mmA,6,10mymx则y=-x+A【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对“数”的形式进行观察、分析，把“数”转成图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问题得以顺利解答..244，，A结合图象可知变式训练1解析则x2+y2=9,(x≥0,y≥0)，又A=x-y,所以A的几何意义是直线在x轴上的截距，其图形如图，则A∈［］.._______,21012的取值范围为则实数已知实数AmmA]33[，0210,012ymxm令,33题型二几何问题“代数化”——以数助形【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及距离d的最小值.解方法一设点M（m,m2）,方法二设过点M平行于直线l与抛物线相切的.34),94,32(32.|320)32(3|51|843|5134|834|min22222dM，，mmmmmmd所以满足条件时即当由题意可知直线方程为4x-3y+b=0,则整理得3x2-4x-b=0,由题意可知Δ=42+12b=0,方法三如图所示,若想使抛物线上的点到直线l的距离最小，只需抛物线在点M处的切线与直线l平行即可,因为直线l的斜率为,抛物线的导数为y′=2x,.3434|8943324|),94,32(,94,3222min21dMyxx所以所以,0342byxxy,34b即34【探究拓展】在解答此类问题时，利用待定系数法设出抛物线上动点的坐标，利用二次函数求最值，是解决距离问题的重要方法；而利用直线平行求距离也是常规方法;利用导数求切线的斜率也是十分简单易行的好方法，这些方法是几种不同数学思想的应用,注意体会..3434|8943324|),94,32(,94,32,34222mindMyxx所以此时则令题型三“数”“形”互化，相得益彰【例3】已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.（1）解由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴f1（x）=x2.设(k＞0)，它的图象与直线y=x的交点分别为xkxf)(2),(),,(kkBkkA由|AB|=8，得k=8,∴(2)证明方法一由f(x)=f(a),得.在同一坐标系内作出的大致图象，其中f2(x)的图象是位于第一、三象限的双曲线,f3(x)的图象是以(0,)为顶点，开口向下的抛物线.因此f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2（2）=4，f3（2）=，xxxfxxf8)(.8)(22故aaxxaaxx88,882222即aaxxfxxf8)(8)(2232和aa82482aa当a＞3时，f3(2)-f2(2)=a2+-80,∴当a＞3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在f2(x)图象的上方.∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解.因此，在a＞3时，方程f(x)=f(a)有三个实数解.方法二由f(x)=f(a),得即得方程的一个解x1=a.方程化为ax2+a2x-8=0,由a＞3,Δ=a4+32a0,得a8,8822aaxx,0)8)((axaxax08axax,23242aaaax∵a＞3,∴x1≠x2,若x1=x3,则3a2=,a4=4a,得a=0或a=,这与a＞3矛盾,∴x1≠x3.故原方程有三个实数解.【探究拓展】在解答此类问题时，注意将方程f(x)=g(x)转化成函数，然后在同一坐标系下画出函数y=f(x)和y=g(x)的图象，通过研究函数图象交点的个数，来确定方程解的个数或函数零点的个数.aa32434,232,232423422aaaaxaaaax变式训练3定义在R上的奇函数f(x)满足:当x＞0时,f(x)=2009x+log2009x,则在R上f(x)=0的实数根的个数是___.解析因当x＞0时，f(x)=0,即-2009x=log2009x,在同一坐标系中画出函数y=-2009x,y=log2009x的图象，如图，设图象相交于点M，即方程f(x)=0有一解；又f(x)是定义在R上的奇函数，所以x=0是方程f(x)=0的解，当x＜0时,方程f(x)=0有一解，故f(x)=0的实数根有3个.3数形结合的本质是几何图形的性质反映了数量关系，数量关系解决了几何图形的性质.数形结合思想方法的应用可分为两种情况：①借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；②借助于“形”的直观来阐明“数”之间的关系.数形结合的基本思路:根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，削弱或消除“形”的推理部分，把要解决的“形”的问题转化为数量关系的讨论.一、选择题1.不等式|x|的解集为（）A.{x|x2或x-1}B.{x|x1或x2}C.{x|-1x2}D.{x|1x2}解析在同一坐标系中，作出y=|x|和y=的图象，如图，由图象可知，当x1或x2时，y=|x|的图象恒在y=的