高等数学洛必达法则教学ppt

第三章导数的应用第三节洛必达法则第三章导数的应用第一节微分中值定理第二节函数的性质第三节洛必达法则第三章导数的应用第三节洛必达法则第三节洛必达法则一.未定式二.洛必达法则本节主要内容:三.其他类型未定式的极限第三章导数的应用第三节洛必达法则如果当xx0（或x）时，两个函数f(x)和g(x)的极限都为零或都趋于无穷大，极限))()(lim()()(limxgxfxgxfxxx或0通常称为未定式，分别记为。和00（1）0,0（2）0,（3）000,,1一、未定式第三章导数的应用第三节洛必达法则)00()(例如,,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxxlimxxxe，0limxxx，120arcsinlim()xxxx01lim(ln)xxx11lim()1lnxxxx00010第三章导数的应用第三节洛必达法则定理3.3.1（洛必达法则）设函数f(x)、g(x)满足：（1）；（2）f(x)、g(x)在x0的某去心邻域内可导，且g(x)≠0；（3）（A为有限数，也可为无穷大）．则00lim()0,lim()0xxxxfxgx0(,)Nx0()lim()xxfxAgx00()()limlim()()xxxxfxfxAgxgx二、洛必达法则第三章导数的应用第三节洛必达法则1)应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数.2)上述定理对“”型或“”型的极限均成立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后才能使用洛必达法则。00定理的证明第三章导数的应用第三节洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则!例1求0sin2lim3xxx0sin2lim3xxx'0(sin2)lim(3)xxx02cos2lim3xx23)00(002cos2(2cos2)limlim3(3)xxxx解第三章导数的应用第三节洛必达法则方法一：例2求4216lim2xxx4216lim2xxx324lim1xx32)00(方法二：4216lim2xxx22(2)(2)(4)lim2xxxxx22(2)(4)lim1xxx32解第三章导数的应用第三节洛必达法则sin5limsin2xxx例3求sin5limsin2xxx(sin5)lim(sin2)xxx5cos5lim2cos2xxx5522)00(解第三章导数的应用第三节洛必达法则用洛必达法则3)在很多情况下，要与其它求极限的方法（如例如,而才能达到运算简捷的目的.等价无穷小代换或重要极限等）综合使用，注意：第三章导数的应用第三节洛必达法则20sinlimsinxxxxx例4求20sinlimsinxxxxx20sinlimxxxxx30sinlimxxxx201coslim3xxx)00(等价无穷小代换洛必达法则22012lim3xxx1600sin1limlim666xxxxxx解第三章导数的应用第三节洛必达法则arctan2lim1xxx例5求arctan2lim1xxx2211lim1xxx2lim12xxx22lim1xxx)00(可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。解第三章导数的应用第三节洛必达法则0lntan3limlntan2xxx例6求0lntan3limlntan2xxx220tan23sec3limtan32sec2xxxxx032lim23xxx03tan2lim2tan3xxx()1解第三章导数的应用第三节洛必达法则例7求limnxxxelimnxxxe1limnxxnxe22(1)limnxxnnxe()0!limnxxne使用n次洛必达法则解第三章导数的应用第三节洛必达法则lnlimxxx例8求lnlim(0)xxx11limxxx1limxx()0解第三章导数的应用第三节洛必达法则4)若不存在()洛必达法则失效！例如,sinlimxxxx极限不存在sinlim(1)xxx11coslim1xx注意第三章导数的应用第三节洛必达法则sinlimsinxxxxx例9求sinlimsinxxxxx1coslim1cosxxxsin1lim1sin1xxxxx()不存在()洛必达法则失效！sinlimsinxxxxx解第三章导数的应用第三节洛必达法则0sinlim(1cos)1xxxxxe例10求0sinlim(1cos)1xxxxxe02sinlim12xxxxx021coslim32xxx能用等价无穷小代换的先代换03sinlim12xxxx202112lim332xxx解第三章导数的应用第三节洛必达法则0112sincoslimxxxxxe原式例11求201sinlim1xxxxe2001sin1limlimsin11xxxxxxxxeex但100分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”解第三章导数的应用第三节洛必达法则000,,0,1,00将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型：或1.0步骤：,10.0100或三、其他类型未定式的极限关键：第三章导数的应用第三节洛必达法则0limlnxxx例12求0limlnxxx0lnlim1xxx0lim()xx021lim1xxx00注意到：求导比求导简单1lnx1x解第三章导数的应用第三节洛必达法则2lim.xxxe例13求2lim.xxxe2limxxexlim2xxexlim2xxe0解第三章导数的应用第三节洛必达法则2.步骤：0101.000011lim1lnxxxx例14求11lim1lnxxxx1ln1lim(1)lnxxxxxx1(ln1)lim[(1)ln]xxxxxx1ln11limln22xxx111ln1(ln)limlim11lnlnxxxxxxxxxxx解第三章导数的应用第三节洛必达法则011lim().sinxxx例15求011lim().sinxxx0sinlimsinxxxxx01coslimsincosxxxxx0解第三章导数的应用第三节洛必达法则003.01步骤：()0()0()()()()0ln()ln()()1()fxgxgxyfxfxgxygxfxfxgxln()limlnlim()ln()lim1()fxygxfxgxln01ln0ln01000取对数.0第三章导数的应用第三节洛必达法则0limlnln00limlimeexxxxxxxxx例16求0limxxx000021lnlimlnlimlimlim()011xxxxxxxxxxx00lime1xxx解第三章导数的应用第三节洛必达法则1limxxx例17求1limxxx1limlnxxx01lime1xxx1lnlimxxxelim1lnxxxelnlimxxx1lim0xx解第三章导数的应用第三节洛必达法则111limlnxxx例18求111limxxx11limln1xxx1lnlim1xxx111limxx解第三章导数的应用第三节洛必达法则例19求011limcotsinxxxx203cos1limxxx30limxx原式xsin～x1coslim0xxxxsin222103limxxxxcos1～221x61xxxxxx20sin)sin(coslim解