考点32数列的综合问题2020年领军高考数学理一轮必刷题教师版备战2020年高考理科数学必刷题集

1考点32数列的综合问题1．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．天B．天C．天D．天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An，则An=.莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．2．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】由an+1﹣an2，所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．2又因为＝1，所以an＝+（n﹣1）d＝2n﹣1．所以b2n﹣1＝•22n﹣2＝22n﹣2．设，所以＝22n﹣2，所以4，所以数列{∁n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D．3．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列na的前n项和为nS,3123Saa，则42SS（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由3123Saa可得312aa，所以22q，又因为2123434421212113aaaaaaSqSaaaa，所以选B.5．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，3被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A．140B．1121C．1364D．11093【答案】C【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243xxxxxx，则由几何概型得，消费88元以上者抽中一等奖的概率1392781243364xPxxxxxx，故选C.6．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=12（ann1a），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[12121111SSS]=______．【答案】20【解析】由题可知0nS，当1n时，1111[()]2nnnnnSSSSS化简可得2211nnSS，当22111,1nSa所以数列2{}nS是以首项和公差都是1的等差数列，即2nnSnSn又1n时，2222(1)2(1)211nnnnnSnnnn记12121111SSSS一方面2[12212121]2(1221)20S另一方面12[(121120)(21)]12(1211)21S所以2021S即[]20S故答案为207．（北京市朝阳区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下4层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】2433402【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：1272727()27(9243)22aaS＝3402.8．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】分析：将an+an+1+an+2=15中n换为n+1，可得数列{an}是周期为3的数列．求出a2，a1，即可得到a2018详解：由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.9．（湖北省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．【答案】100.【解析】5设序列的首项为，则序列，则它的第n项为，因此序列A的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。10．（湖南省株洲市醴陵第二中醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考数学理）在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为nA，令*2log,nnaAnN．(1)数列na的通项公式为na=____________；(2)2446222tantantantantantannnnTaaaaaa=___________．【答案】22n;tan22.tan1ntann【解析】1设在数1和2之间插入n个正数，使得这2n个数构成递增等比数列nb则1121,21nnbbq，即12nqq，为此等比数列的公比12221231231122212nnnnnnnnAqqqqqqq22log2nnnaA故数列na的通项公式为22nna2由1可得22log2nnnaA，又tan1tantan1tan111tan1tannnnnntan1tantan1tan1tan1nnnn*222tan2tan1tantantan1tan21,tan1nnnnaannnN2446222nnnTtanatanatanatanatanatanatan2tan1tan3tan2tan4tan3tan5tan41111tan1tan1tan1tan1nn6tan2tan2tan1nn,*nN故答案为tan2tan2tan1nn11．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知数列na的前n项和为nS，且1233nnS，若21363nan对一切*nN恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】13,18【解析】111233,2936,3nnSaa，当1n时，112223323,3nnnnnnnnaSSa.又113a且21363nan，363213nn，得183123nn，因为111821831872333nnnnnn，所以当4n时，183123nn取得最大值，最大值为184311313,231818n，故答案为13,18.12．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试）已知等比数列{}na的前n项和为*234,2,,4nSnNSSS成等差数列，且2341216aaa.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若2(2)lognanbn，求数列1nb的前n项和nT.【答案】(1)12nna(2)32342(1)(2)nnTnn【解析】（1）设等比数列{}na的公比为q，由23424,,SSS成等差数列知，324224SSS，7所以432aa，即12q.又2341216aaa，所以231111216aqaqaq，所以112a，所以等差数列{}na的通项公式12nna.（2）由（1）知1()22(2)log(2)nnbnnn，所以11111(2)22nbnnnn所以数列1nb的前n项和：11111111111232435112nTnnnn111112212nn32342(1)(2)nnn所以数列1nb的前n项和32342(1)(2)nnTnn13．（北京市西城区2019届高三4月统一测试一模）如图，设A是由nn(2)n个实数组成的n行n列的数表，其中ija(,1,2,,)ijn表示位于第i行第j列的实数，且{1,1}ija.11a12a1na21a22a2na1na2nanna定义1122stststsntnpaaaaaa(,1,2,,)stn为第s行与第t行的积.若对于任意,st（st），都有80stp，则称数表A为完美数表.（Ⅰ）当2n时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表，且对于任意的1,2,,ilL和1,2,,jkL，都有1ija，证明：kln≤.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）见解析，（2）不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）答案不唯一.如1111（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A.根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1均变为1，而1均变为1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：111111111111111111111111x共列y共列z共列w共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），则10xyzw9由120p，得xyzw；由130p，得xzyw；由230p，得xwyz.解方程组，，，，得52xyzw.这与,,,xyzwN矛盾，所以不存在10行10列的完美数表.（Ⅲ）记第1列前l行中的数的和112111laaaX，第2列前l行中的数的和122222laaaX