初中数学总复习《几何三大变化—旋转》讲义

①初中数学总复习——几何三大变化——旋转轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。【一、中心对称和中心对称图形：】例1、下列两个电子数字成中心对称的是：（）例2、下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数1y=x的图象，④函数y=kx+b(k≠0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有：（）A．①②B.①③C.①②③D.②③④1、下列哪个函数的图象不是中心对称图形：（）A.y2xB.2yxC．2yx2D.y2x2、小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距公里；【二、构造旋转图形：】例1、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是：（）A．①B．②C．③D．④例2、如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形．①画出将Rt△ABC向右平移5个单位长度后的Rt△A1B1C1；②再将Rt△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A2B2C1，并求出旋转过程中线段A1C1所扫过的面积(结果保留π)．②例3、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2则AC长是cm.1、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.2、如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点一画出ABC,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形。（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形。（3）图③中所画的三角形与ABC的面积相等，但不全等。【三、有关点的旋转：】例1、如图，A(3，1)，B(1，3)．将△AOB绕点O旋转l500得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为：（）A．(－3，－l)B．(－2，0)C．(－l，－3)或（－2，0)D．(－3，－1)或(－2，0)例2、在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)，C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)B(a，O)(a0).（1）结合坐标系用坐标填空：点C与C′关于点对称;点C与C″关于点对称;点C与D关于点对称（2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a值．1、在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（－4，4），将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．图①图②图③CBACBACBACBA③【四、有关直线（线段）的旋转：】例1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(3，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为：（）A.(1，3)B.(－1，3)C.(0，2)D.(2，0)例2、（2012江苏镇江6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），直线OP经过原点，且位于一、三象限，∠AOP=450（如图1）。设点A关于直线OP的对称点为B。（1）写出点B的坐标；（2）过原点O的直线l从直线OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转。①当直线l顺时针旋转100到直线l1的位置时（如图1），点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是，线段OC的长为；②当直线l顺时针旋转550到直线l2的位置时（如图2），点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是；③直线l顺时针旋转n0（0＜n≤900），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为（用含n的代数式表示）。1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是：（）A．()bba，B．()bba，C．()aba，D．()bba，2、在平面直角坐标系中，已知抛物线cbxaxy2经过点A3(，0)、B(0，3)、C（1，0）三点．求：（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60,与直线xy交于点N．在直线DN上是否存在点M，使得∠MON=75．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P、Q分别是抛物线cbxaxy2和直线xy上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．④3、如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。【五、有关等腰（边）三角形的旋转：】例1、如图1，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为．图1图2图3例2、如图2，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠ABC＝30º，AC＝1．现在将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为．例3、如图3，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是.1、△ABC中，AB=AC，D为BC的中点以D为顶点作∠MDN=∠B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的14时，求线段EF的长．⑤2、如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④AOBOS=6+33四形边；⑤AOCAOB93SS6+4．其中正确的结论是【】A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③3、如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β.当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合.已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式.【六、有关直角三角形的旋转：】例1、如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是：（）A．πB．3C．33+42D．113+124例2、如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=：（）A．1：2B．1：2C．3：2D．1：3⑥例3、如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=9a2时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)．1、孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2yax(0)a的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFx轴于点F，测得OF=1写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标．．．；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．【七、有关平行四边形、矩形、菱形的旋转：】⑦例1、如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD绕点A顺时针．．．旋转，当点D落在BC上点D′时，则AD′=，∠AD′B=°.例2、如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为：（）A．（2，2）B．（2，2）C．（3，3）D．（3，3）例3、如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上则∠C=度1、（2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为23的正方形，长方形AEFG的宽长EF732将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH(如图2)，这时BD与MN相交于点O．（1）求DOM的度数；（2）在图2中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．图1图2【八、有关正方形的