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3/21/20131卫星轨道基础刘万科、楼益栋空间定位与导航工程研究所5.二体问题5.1二体问题运动方程及其解5.2轨道根数与位置矢量和速度矢量之间的关系5.3两个时刻的位置矢量和速度矢量的关系5.4球坐标表示的运动状态参数3/21/20132二体问题球形对称物体之间的吸引,如同质点之间的吸引,它们的质量集中在球心;一般形状的物体,若它们相互之间的距离比它们自身的尺度大得多,也可以近似当成质点之间的吸引。太阳系中,太阳和大行星的扁率都很小,接近于球体,而且它们之间的距离比各自的尺寸大得多,因此,太阳和大行星之间相互吸引可近似为质点之间的吸引;太阳系中的小天体(小行星和流星),形状不规则,但是它们相对于太阳和大行星的距离来说都很小,也可当作质点处理;彗星弥散度很大,但是大部分质量高度集中在慧核;与太阳相比,行星质量小得多,最大的木星质量也只有太阳质量的1/1000。二体问题3/21/20133因此,除运动天体很接近某一大行星的情况外,它受太阳的引力总是比受大行星的引力大得多。基于上述情况,关于大行星、小行星、彗星和流星的运动,可近似地只考虑它们各自和太阳之间的相互吸引,而且把它们当作质点处理,也就是二体问题。所谓二体问题就是研究两质点在万有引力相互作用下的运动问题。二体问题二体问题定义假设只有两个天体(不考虑其他天体的干扰),在万有引力作用下如何运动的问题.OPQxyz··Pr3/21/20134二体问题的运动方程•建立任一空间坐标系O-xyz,P和Q分别是两个天体•是天体P的位置矢量•是天体Q的位置矢量•是天体Q相对于天体P的位置矢量•和分别为P和Q的质量OPQxyz··PrPrQrQPrrrPmQm天体P受天体Q的引力:3FGpQPmmrr天体Q受天体P的引力:3FGpQQmmrr根据牛顿第二定律:22dtrdmdt)vmd(F⇒OPQxyz··Pr3/21/20135⇒223dFmdtGpQPPpmmrrr22223dd()-dtdtGpQQpmmrr-rrrQP,QP又rr可得rr-r⇒223dFmdtGpQQQQmmrrr⇒3PGmrrr3GrpQmmr=0r二体问题的运动方程这是严格的二体问题的运动方程。在二体问题中,一个天体的质量要远大于另一个天体,假设≫,则天体Q不会影响天体P的运动。以天体P为坐标系原点,二体问题运动方程可以表示为3/21/20136⇒xx322rdtdzz322rdtd222zyxr这是一组联立的二阶非线性常微分方程,通解是包含6个相互独立的积分常数的6个积分。223ddtryy二体问题的运动方程求解由牛顿提出二体问题的解决方法,证明了Kepler行星运动定律的有效性面积积分轨道积分活力积分牛顿3/21/20137面积积分drrrrrrrrdt30rrr30rrrrrrrrrhxyzhhhh面积积分的物理含义①h表示单位质量的动量矩②二体问题的动量矩是守恒的③h垂直于轨道运动平面,因此轨道面是惯性系固定。h代表轨道面的法向。可以用轨道倾角和升交点赤经Ω表示④h为面积速度的两倍,⑤Θ3/21/20138面积积分与开普勒第二定律的关系开普勒第二定律椭圆向径在相等时间内扫过的面积相同212hruArrt旋转矩阵3/21/20139轨道积分3,rrhr与叉乘33rhrhrrrrrabcacbabc323=[()]rhrrrrrrrdrrrrrrrdtrrhrer为积分常矢量xyzeeee()0rhhrhh)rhhrhrehehr()(0eh位于轨道平面内;积分常数中只有两个独立的积分常数e和轨道积分轨道坐标系3/21/201310轨道积分定义f为在轨道面内从到之间的夹角2)=rhrhrrhhh()(22//1cos1cos()hhrefeucaeaaN21coshref)cosrrerrurefr(轨道积分的物理含义①轨道积分以极坐标形式给出圆锥曲线方程②e为圆锥曲线的偏心率③p为圆锥曲线的半通径a为圆锥曲线的长半轴④轨道积分的运动方程2/1coshref0,01,1,1eeee圆轨道椭圆轨道抛物线轨道双曲线轨道22211paehae211cosaeref3/21/201311轨道积分的物理含义轨道长半轴特性•椭圆轨道:0•抛物线轨道:→∞•双曲线轨道:0对于双曲线轨道,卫星的轨道方程为22211paehpae211cosaeref活力积分或能量积分30rrrr点乘3102rrdrrrrrdtr12rrEr212vEr或3/21/201312活力积分或能量积分①E为单位质量的总能量是常数②可以推导出③由④轨道特性与能量E的关系圆轨道:,0,⁄椭圆轨道:0,0,抛物线轨道:→∞,0,2⁄双曲线轨道:0,0,212vEr212coshvefep2Ea221vra2aE不同类型轨道的能量变化活力积分或能量积分3/21/201313面积积分(常数A、B、C或h、i、Ω)轨道积分(常数e、ω)活力积分(常数E)习题解题思路:已知地球卫星的速度为10.7654/,距地面高度为1500,速度倾角为Θ23.173°,求偏心率和长半轴以及轨道形状3/21/201314过近拱点时间的积分21coshfrpref2221cosheffphp23321cos1cosfefppdfdtef或03021cosffpdfttef拱线为AP,其中P为近拱点天体在轨道上的位置f与其飞行时间t之间的关系过近拱点时间的积分—椭圆轨道223111cos1cos1tantan212sin()baeaerefraeEfeEeEeEta3/21/201315过近拱点时间的积分—椭圆轨道3sin()EeEta1sin1cosiiiiiEeEMEEeE开普勒方程:将天体在椭圆轨道上的位置与过近拱点后所经历的时间联系起来开普勒方程的求解一般采用牛顿迭代法椭圆轨道的三个近点角三个近点角真近点角f偏近点角E平近点角M三个近点角的关系E和ME和f21sintancoseEfEesinMEeE开普勒方程3Mntna3/21/201316过近拱点时间的积分—椭圆轨道3sin()EeEta(2)运行周期运行周期只与长半轴a有关322aTn过近拱点时间的积分—椭圆轨道3sin()EeEta(3)圆轨道是椭圆轨道的一个特例运行周期只与圆轨道的半径有关322ccrTn开普勒行星运动第三定律:人造地球卫星在椭圆轨道上绕地球运行,其运行周期取决于轨道的半长轴(与半长轴的二分之三次方成正比)3/21/201317过近拱点时间的积分—抛物线轨道1e巴克方程(Berker)或抛物线情况的开普勒方程321cospdfdtf331tantan2()232fftp过近拱点时间的积分—双曲线轨道1e311tantanh212sinh()feHeeHHtMaH为双曲近点角3/21/201318椭圆轨道根数共有六个独立的积分常数,称为轨道根数面积积分得到积分常数,Ω轨道积分得到积分常数,ω活力积分得到积分常数过近拱点时间的积分得到,常用,代替轨道根数的意义表示轨道的大小和形状:,表示轨道面的空间指向:Ω,表示轨道面内近拱点的指向:ω表示过近拱点的时间:椭圆轨道根数PerigeeSatelliteEarthXYZEarthfufraaebEiSatellitePerigeeAscendingNode3/21/201319椭圆轨道的几何关系椭圆轨道的基本关系式其中三个近点角之间的关系:2sin1sintancosMEeEeEfEe2222221111cos1cos21cossin1coscos(cos)sin1sin11sintantanortan212cossinrtbaepaeaerraeEefvhprvravefvefpprfaEerfaeEfeEeEfeEeMntEeEn3322aTan3/21/201320特殊椭圆轨道的根数近圆轨道→0零倾角轨道→0 180°sincossinsincossinapiqihekeLMtansin2tancos2sinsinaipiqhekeLM或,,cossinaihekeLMh和k共同表示轨道的形状和近拱点的位置;P和q共同表示轨道面的方向抛物线和双曲线轨道根数•抛物线•双曲线1,,,,eai,,,,,aei3/21/201321习题某人造地球卫星的近地点地心距为6500km,远地点地心距为60000km。求当高度为500km时的真近点角。某人造地球卫星近地点轨道高度为400km,偏心率为0.6,求轨道周期,远地点的地心距,近地点和远地点的速度。当高度为3622km时的速度,真近点角和速度倾角。某人造地球卫星轨道,真近点角126°时的高度为1545km,真近点角58°时的高度为852km,求轨道的偏心率,近地点高度和长半轴。轨道根数与位置矢量、速度矢量的关系主要内容由位置矢量和速度矢量计算轨道根数由轨道根数计算位置矢量和速度矢量3/21/201322由位置矢量和速度矢量计算轨道根数①已知某时刻的位置矢量和速度矢量,计算轨道根数①根据面积积分,计算i和Ωyzzyrrhzxxzxyyx''313'()()()xxyRRiRuyzz由位置矢量和速度矢量计算轨道根数②0,'0xyzhhhhh有,h313()()()'coscossinsincoscossinsincoscossinsinsincoscossincossinsincoscoscoscossin'sinsincossincoshRRiRuhuuiuuiiuuiuuiihuiuii3130sinsin()()()0cossincosxyzhhihRRiRuhihhhicos,tanxzyhhihh222XYZhhhhΩ计算和Ω3/21/201323由位置矢量和速度矢量计算轨道根数③②根据轨道积分1xyzererhere222x
本文标题:二体问题
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