6条件：垂直平分线

基本条件突破6：线段垂直平分线（中垂线）作为条件如何用【线段垂直平分线的定义】：我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．【线段垂直平分线的性质】：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．推论：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【中垂线作为条件的用法】：用法1：同全等（中垂1）用法2：用中垂线构造全等（中垂2）例题感知【类型一】与线段垂直平分线有关的角度问题如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．试说明：∠B＝∠CAF．解析：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAF.∵∠ADF＋∠ADB＝180°，∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°，∴∠ADF＝∠B＋∠BAD.又∵∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＝∠CAF.方法总结：解题时，往往利用线段垂直平分线的性质得出线段相等，进而得出角相等，这体现了数学的转化思想．【类型二】与线段垂直平分线有关的线段问题如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12cm，BC＝10cm，则△BCD的周长为________．解析：要求△BCD的周长，已知BC的长度，只要求出BD＋CD即可．根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD，故△BCD的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22cm．故△BCD的周长为22cm.方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对相等的线段进行转化是解答本题的关键．试题感知题型一：应用由性质得出的全等模型（中垂1）【类型一】一条中垂线1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=________．2．（2019秋•东城区期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为_______．3．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为．4．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．【类型二】中垂线+角平分线1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是________．2．（2018春•新华区校级期中）在锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，且l与m相交于点P．若∠A＝60°，∠ACP＝27°，则∠ABP的度数为．3．（2019秋•合浦县期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°，∠DCF＝50°，BC＝8．则AB长为．【类型三】两条中垂线1．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE=．2．如图，在△ABC中，∠BAC=70°，边AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于D，边AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于G，则∠EAF=．3．在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为．4．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1，交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6，△OBC的周长为16，则AO的长为．题型二：由中垂线构造全等模型再运用（中垂2）1．（2019秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数是（）A．40°B．65°C．70°D．75°2．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE=．3．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=．题型三：外心的运用1．（2019秋•常熟市期末）如图，已知O为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（）A．80°B．100°C．105°D．120°2．（2019秋•五常市期末）如图，已知△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是（）A．21cmB．18cmC．15cmD．13cm3．（2019秋•自贡期末）如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为（）强化练习1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．2．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．3．如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=68°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．求∠EAD的度数．4．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．5．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．（1）求证：ME=MF；（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．