6.8生活中的圆周运动

8.生活中的圆周运动［教材习题研讨］方法点拨1.解析：小螺丝钉P需要的向心力F=mr（2nπ）2=0.01×0.2×（2×1000π）2N=7.9×104N由牛顿第三定律可知，转动轴受到的力大小为7.9×104N.答案：7.9×104N2.解析：汽车转弯所需的向心力F=m=2.0×103×N=1.6×104N大于轮胎所受的最大静摩擦力，所以汽车会发生侧滑.答案：会侧滑3.解析：（1）汽车在桥顶时，如图6－8－14所示.由向心力公式可得mg－N=mN=mg－m=（800×9.8－800×）N=7440N图6－8－14由牛顿第三定律可知，车对桥的压力为7440N.（2）若汽车恰好对桥无压力，则仅受重力且重力正好充当向心力，故有mg=m得v==9.8×50m/s=22m/s（3）由上面（1）中可知，车受支持力N=mg－m可见，拱桥的圆弧半径越大，支持力越大，也即车对桥的压力越大，汽车越安全.（4）由上面（2）可知，汽车恰好腾空时v=其中R=6400km为地球的半径，代入上式可得v=7.9×103m/s.答案：（1）7440N（2）22m/s（3）半径大一些安全（4）7.9km/s4.解析：如图6－8－15所示，小孩由最高点摆到最低点过程中，仅有重力做功，机械能守恒.取最低点为零势能面，则有mv2=mgl（1－cos60°）①在最低点，由向心力公式得FN－mg=m②由①②可得：FN=mg+2mg（1－cos60°）=2mg=490N图6－8－15由牛顿第三定律得：小孩对秋千板向下的压力为490N.答案：490N5.解析：如图6－8－16所示，小球由弧形轨道最高点到达圆轨道最高点过程中，机械能守恒.取圆轨道最低点为零势能点，则有mgh=mv2+mg·2R①图6－8－16可见，小球在轨道最高点的速度越小，h越小.当小球过轨道最高点的速度最小时，只有重力充当向心力，于是mg=m②由①②可得：h=R，所以h最小值为R.答案：R［教材优化全析］（一）铁路的弯道1.火车车轮的结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运行时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹.（如图6－8－1所示）图6－8－1图6－8－22.如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力就是火车转弯的向心力，见图6－8－2.但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损.全析提示从这个例子我们再一次看出，向心力是按效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力.如果认为做匀速圆周运动的物体除了受到另外物体的作用，还要再受一个向心力，那就不对了.3.如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力.这就减轻了轮缘与外轨的挤压.在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力来提供（图6－8－3）.图6－8－3设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为v0.由图6－8－3所示力的合成得向心力为F合=mgtanα≈mgsinα=mg由牛顿第二定律得：F合=m所以mg=m即火车转弯的规定速度v0=.4.对火车转弯时速度与向心力的讨论：a.当火车以规定速度v0转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力.b.当火车转弯速度vv0时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力.c.当火车转弯速度vv0时，该合力F大于向心力，内轨向外侧挤压轮缘，产生的侧压力与该合力F共同充当向心力.（二）拱形桥要点提炼火车在转弯时，一定要正确确定圆心及半径.这时圆心在火车重心所在的水平面上，而不是斜面上.确定了圆心位置后，半径也就确定了.这是解决问题的一个很关键的点.1.汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力.汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力FN提供向心力.如图6－8－4所示.图6－8－4G－FN=m全析提示对汽车受力分析，找出向心力的来源，是解决此题的关键.所以FN=G－汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力.思考：汽车的速度不断增大时，会发生什么现象？由上面表达式FN=G－可以看出，v越大，FN越小.当FN=0时，由G=m可得v=.若速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面.我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因.2.汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力.思维拓展物体在竖直面内通过最高点时，若向心力等于重力，此时速度v=，物体与支承物间无相互作用力.如图6－8－5，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力.则有：FN－G=m，所以FN=G+m图6－8－5由牛顿第三定律知，车对桥的压力FN′=G+m，大于车的重力.而且还可以看出，v越大，车对桥的压力越大.思考：汽车不在拱形桥的最高点或最低点时，如图6－8－6所示.它的运动能用上面的方法求解吗？图6－8－6可以用上面的方法求解，但要注意向心力的来源发生了变化.如图6－8－6，重力沿半径方向的分力和垂直桥面的支持力共同提供向心力.设此时汽车与圆心的连线和竖直方向的夹角为θ，则有mgcosθ－FN=m所以FN=mgcosθ－m桥面支持力与夹角θ、车速v都有关.（三）航天器中的失重现象全析提示这里讨论的仅是汽车在拱桥最高点、凹桥最低点的情况.当汽车不在最高点或最低点时，情况更复杂.飞船环绕地球做匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员受到的地球引力近似等于他在地面测得的体重mg.除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力FN.引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力F=，即mg－FN=也就是FN=m（g－）由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力FN=0，航天员处于失重状态.思考：地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球半径R（约为6400km）.地面上有一辆汽车，重量是G=mg，地面对它的支持力是FN.汽车沿南北方向行驶，不断加速.如图6－8－7所示.会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？图6－8－7要点提炼当v=时，航天员仅受重力（约等于在地表时地球对他的引力），由牛顿第二定律知，尽管航天员的运动方向沿圆周切线方向，但加速度的方向却是竖直向下、大小为g，因此航天员处于完全失重状态.其实，这和飞船的情况相似.当汽车速度达到v=时（代数计算可得v=7.9×103m/s），地面对车的支持力是零，这时汽车已经飞起来了.此时驾驶员与座椅间无压力.驾驶员、车都处于完全失重状态.驾驶员躯体各部分之间没有压力，他会感到全身都飘起来了.（四）离心运动1.定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动.2.本质：离心现象是物体惯性的表现.3.如图6－8－8所示：图6－8－8（1）向心力的作用效果是改变物体的运动方向，如果它们受到的合外力恰好等于物体所需的向心力，物体就做匀速圆周运动.此时，F=mrω2.从定义可以看出，离心运动并不是受到什么离心力作用.根本就没有离心力这种力，因为没有任何物体提供这种力.（2）如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出.这时F=0.（3）如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动.其轨迹为圆周和切线间的某条线，如图所示.这时，Fmrω2.思维拓展惯性是任何物体都有的、保持其原来运动状态不变的性质.即静止的物体继续静止，匀速直线运动的物体继续做匀速直线运动.4.离心运动的应用和危害（1）利用离心运动制成离心机械.例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等.（2）在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的.如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力Fmax，汽车将做离心运动而造成交通事故.如图6－8－9所示.因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力.图6－8－9乘客在汽车急转弯时会不由自主地向外侧倾或向外滑去，就是发生了离心现象.