高三线性规划练习题

线性规划练习题1.已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是（）A．(1－3，2)B．(0，2)C．(3－1，2)D．(0，1＋3)【答案】A如图作可行域，作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋3，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋3)＋2z－1＋3，∴z＝－x＋y的取值范围是(1－3，2)．故选A2.当变量x，y满足约束条件y≥xx＋3y≤4x≥m时，z＝x－3y的最大值为8，则实数m的值是________．【答案】-4画出可行域如图所示，目标函数z＝x－3y变形为y＝x3－z3，当直线过点C时，z取到最大值，又C(m，m)，所以8＝m－3m，解得m＝－4．3.设不等式组1,0,20yxyxy表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆221xy内的概率为__________．【答案】8作出区域D：易知落在圆内的概率为84.已知变量x，y满足约束条件x＋4y－13≤02y－x＋1≥0x＋y－4≥0且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________．【答案】1作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－1m的动直线y＝－1mx＋zm，若m＜0，则－1m＞0，由数形结合知，使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－1m＝－1，则m＝1．综上可知，m＝1．5.已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件x＋|y|≤1，x≥0，则z＝OA→·OP→的最大值为（）A．－2B．－1C．1D．2【答案】D如图作可行域，z＝OA→·OP→＝x＋2y，显然在B(0,1)处取到最大值2．故选D6.已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b．若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为．【答案】[－3,3]【解析】∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0．又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，zmin＝3．∴z∈[－3,3]．7.设不等式组402020xyxyy表示的平面区域为D.若指数函数(0xyaa且1)a的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是（）A．[2]3，B．[3,)）C．(0]13，D．1[,1)3【答案】D由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，3），当函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点A时，有a﹣1=3，即a=．由指数函数图象的特点可知，当a∈[，1）时，指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象经过区域D上的点．故选D．8.(2013·高考北京卷)设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2．求得m的取值范围是（）A．34，B．31，C．32，D．35，【答案】C当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y＝12x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝12x－1的下方即可，即m＜－12m－1，解得m＜－23．故选C．9.记不等式组431034xyxy表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆221xy的两条切线，切点分别为,AB，则cosPAB的最大值为（）A．32B．23C.13D．12【答案】D如图所示，AOPPAB，设),(yxP，则221coscosyxOPOAAOPPAB，当PAB最小时，PABcos最大，即22yx最小，P点即为可行域内离原点最近的点，此时OP垂直于01043yx，25104310||22OP，所以21cosPAB.故选D.10.(2013·高考广东卷)给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0.令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．【答案】6线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．11.在平面直角坐标系xoy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为（）A．2B．1C．12D．14【答案】B不等式x＋y≤1，x≥0，y≥0，所表示的可行域如图所示，设a＝x＋y，b＝x－y，则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x＋y，x－y)，即点(a，b)满足约束条件0≤a≤1，－1≤b≤1，0≤a＋b≤2，0≤a－b≤2，不等式组表示的可行域如右图，由图可知该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝12×2×1＝1．故选B12.设D为不等式组0,0,+33xyxyxy表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点(,)Axy，则2xy的最大值是_______；22xyxy的取值范围是．【答案】，画出可行域如图所示令，，当直线过点是有最大值，联立，得，代入得；第二问：设，令，，由在可行域内，，故.答案：940