上海交大版大学物理上册答案

习题1-1.已知质点位矢随时间变化的函数形式为rR(cosωtisinωtj)其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：1）由rR(cosωtisinωtj)知xRcosωtyRsinωt消去t可得轨道方程x2y2R22）vdrωRsinωtiωRcosωtjdtv[(ωRsinωt)2(ωRcosωt)21]2ωR1-2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r4t2i(32t)j，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）质点的轨道；（2）从t0到t1秒的位移；（3）t0和t1秒两时刻的速度。解：1）由r4t2i(32t)j可知x4t2y32t消去t得轨道方程为：x(y3)2a2a2t2t2）vdr8ti2jdt1Δr1vdt(8ti2j)dt4i2j003）v(0)2jv(1)8i2j1-3.已知质点位矢随时间变化的函数形式为rt2i2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：1）vdr2ti2jdtadv2idt112）v[(2t)24]22(t1)2adv2tdtt212an1-4.一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为y1v0t1at22（1）图1-4yhvt1gt2（2）202y1y2（3）t21v2xyv21[v2(gt)2]2000解之t1-5.一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；drdvdv（3）落地前瞬时小球的，，.dtdtdt解：（1）xv0tyh1gt22式（1）式（2）r(t)v0ti(h-1gt2)j2gx2（2）联立式（1）、式（2）得yh2v2dr（3）v0dti-gtj而落地所用时间t所以drvi-dt0vjdvgjdtdvg2tg2ghdt(v22gh)121-6.路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.2dga2hg2ghv2(gt)20证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得图1-6x2x2x1h1h2而x1v0t所以，人影中头的运动方程为x2hh1x1hh1tvhh01212人影中头的速度v2dx2dth1vh1h21-7.一质点沿直线运动，其运动方程为x24t2t2(m)，在t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：vdx44tdt若v0解的t1sx1x1x0(242)22mx3x3x1(243232)(242)8mxx1x210m1-8.一弹性球直落在一斜面上，下落高度h20cm，斜面对水平的倾角30o，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。图1-809.83.410220解：小球落地时速度为v0第一次落地点为坐标原点如图一建立直角坐标系，以小球vx0v0cos60xv0cos60t1gcos600t22（1）vy0v0sin60yv0sin60t1gsin600t22（2）第二次落地时y0t2v0g所以xvcos600t1gcos600t22v00.8m02g1-9.地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为9.80m/s2.解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足gR2现在赤道上物体171-10.已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：在顶点处子弹的速度vv0cos，顶点处切向加速度为0。2gh3.4102R000vv2(vcos)2v2cos2因此有：g00g在落地点速度为v0gcos20v20gcos1-11.飞机以v0100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?解：设此时飞机距目标水平距离为x有：xv0th1gt22联立方程解得：x447marctanx77.50h1-12.设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为；vB与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为vAv0cosi(v0singt)jvBv0cosi(v0sin-gt)jvBAvB-vA(v0cosv0cos)i(v0sinv0sin)j与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。1-13.一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v049.0m/s，而气球以速度v19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第0v0二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物体在任意时刻的速度表达式为vyv0gt故气球中的观察者测得物体的速度vvyv代入时间t可以得到第二秒末物体速度v9.8ms第三秒末物体速度第四秒末物体速度v0v9.8ms1-14.质点沿x在轴向运动，加速度akv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程xx(t).解：dvkvdtdxvektv1tvdv0kdtxtdxvektdtvvektdt0000xv0(1ekt)k1-15.跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度akv2，k0.4m1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴跳水运动员入水速度v014ms2dvdvv01xkvvdtdx10dvkdxvv00x1ln105.76mk2ghv2v2v2xyza2a2xyxy1-16.一飞行火箭的运动学方程为：xutu(1t)ln(1bt)，其中b是b与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。解：（1）vdxuln(1bt)dt（2）advdtub1bt1-17.质点的运动方程为：xRcost,yRsint,zht,式2中R、h、为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。解：（1）轨道方程为x2y2R2zht2这是一条空间螺旋线。在Oxy平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h（2）vxdxRsintdtvh2R242（3）aR2costaR2sintaz0aR2思考题1-1.质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（1）vv,vv；（2）vv,vv；（3）vv,vv；（4）vv,vv答：（3）1-2.质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？答：vafvbfvc1-3.结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。答：平均加速度表示速度v在t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。1-4.运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。1-5.如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中和为已知。答：方法一如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度vvBvA.v是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离作FD//AB,构成直角三角形DEF,故有sinvBsinvAsinv在三角形BEF中,由余弦定理可得rminRsinv2ABv22vvcos()ABv2ABv22vvcos()ABvrvBsinvAsinRmin方法二：两船在任一时刻t的位置矢量分别为rA(vAtcos)i(vBtsin)jrB(RvBtcos)i(vBtsin)jrrB-rA[R(vBcosvAcos)t]i[(vBsinvAsin)t]j任一时刻两船的距离为rdr(t)令0dttvBcosvAcos22(vBcosvAcos)(vBsinvAsin)rminvBsinvAsinR1-6.若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？drdrdvdvdada（1）0，0；（2）0，0；（3）0，0dtdtdtdtdtdt答:(1)质点作圆周运动.(2)质点作匀速率曲线运动.(3)质点作抛体运动.v2ABv22vvcos()AB[R(vcosvcos)t]2[(vsinvsin)t]2BABAR1-7.一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，.（1）说明下面三个积分的意义：t1vxdt,0t1vydt,0t1vdt.0（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：Bdr,ABdr,ABdr.At1答:vxdt0表示物体落地时x方向的距离t1vydt0表示物体落地时y方向的距离t1vdt0表示物体在t1时间内走过的几何路程.BdrA抛出点到落地点的位移BdrA抛出点到落地点位移的大小Bdr抛出点到落地点位移的大小A0习题2-1.质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。dv解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：fkvm，dt分离变量，可得：kmdvvdt两边同时积分，所以：vv0ektm（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由kmdvvdt可推出：vdtmkdv，而这个式子两边积分就可以