专升本应用题2

一、一元函数唯一驻点处的极值就是最值09年、10年、05年知识点：一元函数求极值10、要做一个容积为V的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时，用料最省？解：设容器的高与底面半径分别为,其表面积为S，则,hr2Vrh，又因为222Srrh把带入，得2Vhr222VSrr令，2240VSrr得唯一驻点，32Vr根据实际意义可知即为表面积的极小值点，此时32Vr2322VhVVrrrrV故当容器的高与底面半径之比为2时用料最省。rh09、靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为64平方米的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小。解：设与已知墙面平行的墙的长度为，则另二面墙的长为x64x故三面墙的总长为128(0)lxxx令212810lx得唯一驻点82x根据实际意义可知，当时取得最小值82x此时三面墙的长度分别为82,42,42xx64x64x二、二元函数唯一驻点处的极值就是最值03年、07年、08年知识点：二元函数求极值08、一块铁皮宽24厘米，把它的两边折上去，做成一个正截面为等腰梯形的槽，要使等腰梯形的面积A最大，求腰长和底边的倾角xxxA242x解：根据题意知梯形的上底和下底分别为2422cos,242xxx等腰梯形的面积1(2422cos242)sin2Axxxx2224sin2sincossinxxx222224sin4sin2cossin24cos2cos(cossin)AxxxAxxx令00AxA显然不合题意，在定义域内得唯一驻点0,0x18,cos2x所以，当时，面积A最大8,3x22sin(122)0(24cos2cos2cos)0AxxcoxxAxxxx07、某工厂欲建造一个无盖的长方体污水处理池，设计该池容积为V，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元，问长、宽、高各为多少时，才能使污水处理池的造价最低？解：设长方体的长、宽分别为x,y，则高为，又造价为zVxy222(),VbVbVzaxybxyaxyxyyx0,0xy令222020zbVayxxzbVaxyy得唯一驻点32bVxyaxyVxy根据题意可知造价一定有最小值，故就是造价最小的取值，此时高为32bVxya232aVb所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为3322,,bVbVaa232aVb此时，造价最低xy03、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元和9元。生产甲产品件与乙产品件的总费用是22200230.01(33)xyxxyy问两种产品的产量各多少件时，利润最大？解：根据题意，总利润为(,)109[40023Lxyxyxy220.01(33)]xxyy10(20.060.01)09(30.010.06)0xLxyLxy即68006600xyxy所以（120,80）为驻点0.01,0.06,0.06xyxxyyLLL所以2(,)()0.0035xyxxyyPxyLLL因此，(120,80)0.00350P又0.060xxL所以（120，80）为极大值点，根据实际意义，此极大值为最大值，即x=120,y=80时，利润L最大三、条件极值与拉格朗日乘数法06年、01年06、某公司的甲乙两厂生产同一种产品月产量分别为x,y（千件），甲厂的月生产成本是，乙厂的月生产成本是，若要求该产品每月总产量为8（千件），并使总成本最小，求甲乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。2125Cxx2223Cyy解：用拉格朗日乘数法总成本22(,)228fxyxyxy约束条件(,)80xyxy作辅助函数22(,)228(8)Fxyxyxyxy22022080xyFxFyxy令解得5,3xy由于驻点（5,3）唯一，根据实际情况有最小值，所以当x=5千件，y=3千件时，总成本最小，最小成本千件(5,3)38f11、求点（0，1）到抛物线上的点的距离的平方的最小值。2yx解：令（0,1）到抛物线上的距离为d2yx222(1)dxy22(1)1yyyy213()24y因为，0y所以的最小值是2d34例：某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R和电视广告费x和报纸广告费y有如下关系：（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略（2）如果总广告费1.5，求相应的广告策略22(,)1514328210Rxyxyxyxy解（1）利润最大的广告策略，利润函数为(,)()LRxyxy221513318210xyxyxy13840318200LyxxLxyy解得35,44xy因为驻点唯一，又因该问题最在最大利润，所以最大利润只能在驻点处取得，所以最大利润为：35(,)39.2544L（2）此问题为条件极值，即求利润函数L在条件下的最大值，构造拉格朗日函数1.5xy22(,,)1513318210(1.5)Fxyxyxyxyxy138403182001.50xyFyxFxyFxy由解得0,1.5xy因是唯一可能取得极值的点，由此问题最大值一定存在，所以为最大值0,1.5xy(0,1.5)39L0()1exseedxxy