《高等数学B》-第六章---定积分及其应用-第1节-定积分概念

§1定积分概念abxyo?A实例1(求曲边梯形的面积)一、问题的提出)(xfy曲边梯形由连续曲线x轴与两条直线x=a,x=b所围成.,)0)()((xfxfyabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.(四个小矩形)(九个小矩形)观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系.曲边梯形如图所示,,,],[1210bxxxxxabann内插入若干个分点在区间abxyoiix1x1ix1nx;,],[],[11iiiiixxxxxnba为长度小区间个分成把区间,],[1iiixx上任取一点在每个小区间,)(iiixfA为高的小矩形面积为为底以)(,],[1iiifxx,)(1iniixfA曲边梯形面积的近似值为.)(lim10iniixfA,)0(},,,max{,21时趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细nxxx曲边梯形面积为实例2(求变速直线运动的路程)设某物体作直线运动,已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数,且0)(tv,求物体在这段时间内所经过的路程.思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.(1)分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度(2)求和iinitvs)(1(3)取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值设函数)(xf在],[ba上有界,记},,,max{21nxxx,如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间,各小区间的长度依次为1iiixxx,),2,1(i,在各小区间上任取一点i(iix),作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1,二、定积分的定义定义怎样的分法,baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量.],[称为积分区间ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法,只要当0时,和S总趋于确定的极限I,我们称这积分上限积分下限个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为积分和注意:(1)积分值仅与被积函数和积分区间有关,而与积badxxf)(badttf)(baduuf)((2)定义中区间的分法和i的取法是任意的.(3)当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时,称分变量用什么字母无关.)(xf在区间],[ba上可积.定理1定理2三、定积分存在定理当函数f(x)在区间[a,b]上连续时,f(x)在区间[a,b]上一定可积.设函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积.以上两个定理是定积分存在的两个充分条件.谁能回答:定积分存在的两个必要条件.,0)(xf当baAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xf当baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba四、定积分的几何意义1A2A3A4A当)(xfy几何意义:.;,)(轴下方的面积取负号在取正号轴上方的面积在．数和之间的各部分面积的代的图形及两条直线函数、轴它是介于xxbxaxxfx)(xfy例利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分,分点为nixi,(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1,(ni,,2,1)取iix,(ni,,2,1).则iinixf)(1iinix21,12iniixxnnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.31五、小结1.定积分的实质:特殊和式的极限.2.定积分的思想和方法:分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直(不变)代曲(变)取极限