人教版高中数学必修五同课异构课件24第2课时等比数列的性质情境互动课型

第2课时等比数列的性质定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).n1naq(qn,q0a是与无关的数或式子且）如果一个数列是等比数列，它的公比是q，那么,1a,2a,3a,na…，…，21aaq由此可知，等比数列的通项公式为na2321aaqaq3431aaqaq4541aaqaqn1n11aaqa,q0（）…1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用.(重点、难点）2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力．(1)1，2，4，8，16，…观察数列111(2)8,4,2,1,,,,248(3)4，4，4，4，4，4，4，…(4)1，-1，1，-1，1，-1，1，…公比q=2公比q=12公比q=1公比q=-1探究点1：等比数列的图象等比数列的图象1数列：1，2，4，8，16，…123456789102468101214161820O●●●●●递增数列通过图象观察性质等比数列的图象212345678910O数列：●●●●,81,41,21,1,2,4,8●●●12345678910递减数列等比数列的图象3123456789102468101214161820O数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●常数列等比数列的图象412345678910O12345678910●●●●●●●●●●数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，摆动数列-1在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．【解析】a8＝a1q7,768＝6q7，∴q＝2，∴a6＝6×25＝192.【即时练习】192类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？探究点2：等差、等比数列的性质比较an-an-1=d（n≥2）等差数列等比数列常数减—除加—乘dnaan)1(1)0(111qaqaann加-乘乘—乘方迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义数学表达式通项公式证明通项公式1(0n2)nnaqqa，,提示:由等差数列的性质，猜想等比数列的性质{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质1：an=am+(n-m)d性质2：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an+k+an-k猜想2：性质3：若n+m=p+q,则am+an=ap+aq猜想1：nmnmbbq若bn-k,bn,bn+k是{bn}中的三项,则若n+m=p+q，则bn·bm=bp·bq2nnknkbbb猜想3：性质4：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质5:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列.若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn•dn}是公比为q·q′的等比数列.猜想4：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为(可推广)2q猜想5：若数列{an}是公比为q的等比数列,则(1)当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递增数列;当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q0时,{an}是摆动数列.(2)an≠0,且anan+20.(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.【知识提升】(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an•bn}是公比为qq′的等比数列.(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(10)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am,an,ap成等比数列.(8)数列是公比为的等比数列.q1na1在等比数列{an}中，an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_______.6【即时练习】例已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an•bn}是等比数列.当数项数两个数时数数数吗为类证nnnn12列a、b是相同的等差列，列pa+qb其中p,q是常也是等差列？是的，公差pd+qd.可分以：比析明.证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an•bn}的第n项与第n+1项分别为：n1n1nn11121112aqbqaqbq,与n-1n11121112即ab(qq)与ab(qq).·为·nn+1n+1111212n-1nn1112abab(qq)因==qq.abab(qq)它是一个与n无关的常数，所以{an•bn}是一个以q1q2为公比的等比数列.特别地，如果是等比数列，是不等于0的常数，那么数列也是等比数列.说明：nnacca已知等比数列的公比为q，记，cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N*)，则以下结论一定正确的是（）A.数列为等差数列，公差为B.数列为等比数列，公比为q2mC.数列为等比数列，公比为D.数列为等比数列，公比为namnmnmnmnaaab)1(2)1(1)1(nbmq2mqmmqnbncnc【变式练习】【解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常数.(1)1(1)2(1)nmnmnmnmcaaa112nmnmnmnmcaaa2112(1)1(1)2(1)()mmmmmmnmnmnmnmnmnmnmnmcaaaqqqqqcaaa【解析】选C.显然，不可能是等比数列；是等比数列；证明如下：nbnc（）A．7B.5C．-5D．-7na472aa568aa110aa472aa56474784,2aaaaaa1.已知为等比数列，，，【解析】选D.，4747110110471011102,4,4,28,17,2,48,17.或aaaaaaaaaaaaaaD则2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么()A.b=3，ac=9B.b=-3，ac=9C.b=3，ac=-9D.b=-3，ac=-9【解析】选B.∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3，又由等比数列奇数项符号相同，得b0，故b＝－3.而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9.B3.(2015·福建高考)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9D【解析】选D.由题可得a+b=p0ab=q0所以a0,b0,不妨设ab,所以等比数列为a,-2,b或b,-2,a从而得到ab=4=q,等差数列为a,b,-2或-2,b,a从而得到2b=a-2,两式联立解出a=4,b=1,所以p=a+b=5,所以p+q=4+5=9.4.在等比数列{an}中，a15=10,a45=90,则a30=__________.5.在等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.30480或-306.32323232与的等比中项是___________.7.已知正数等比数列{}na中，12nnnaaa1对所有的自然数n都成立，则公比q=___________.512【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中a1a5=a2a4=23a=4,则a1a2a3a4a5=25,log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.方法二:各项均为正数的等比数列{an}中a1a5=a2a4=23a=4,设log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=S,则log2a5+log2a4+log2a3+log2a2+log2a1=S,2S=5log2(a1a5)=10,S=5.答案:58.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.1.证明或判断一个数列为等比数列的方法:(1)=q(n2且q≠0){an}为等比数列.(适用于选择题、填空题和解答题)(2)an=cqn(c,q≠0){an}为等比数列.(适用于选择题、填空题)(3)a2n+1=anan+2{an}为等比数列.(适用于选择题、填空题)nn1aa2.等差、等比数列的判定方法比较定义法中项法an+1-an=d(d为常数)方法分类等差数列等比数列2an+1＝an+an+2（n∈N*）n1naq(qaq0)为常数，2n1nn2naaa(nN*a0)，3.等比数列的性质:(1)an=amqn-m（n,m∈N*）(2)若m+n=p+q，则aman=apaq（m,n,p,q∈N*）(3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.(4)a1a2,a3a4,a5a6,…仍为等比数列.(5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项.珍惜现在，别在毫无意义的事情上浪费时间。