2016年高考理科数学全国1卷(附答案)

12B-SX-0000013-1--2-学校：___________________________年_______班姓名：____________________学号：________---------密封线---------密封线---------绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷（全卷共10页）(适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北)注意事项：1．本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合2430Axxx，230xx,则AB（A）33,2（B）33,2（C）31,2（D）3,322.设yixi1)1(，其中yx,是实数，则yix（A）1（B）2（C）3（D）23.已知等差数列na前9项的和为27，108a，则100a（A）100（B）99（C）98（D）974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）13（B）12（C）23（D）345.已知方程222213xymnmn表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,36.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是（A）17（B）18（C）20（D）287.函数22xyxe在2,2的图像大致为8.若101abc，,则（A）ccab（B）ccabba12B-SX-0000013-3--4-（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc9.执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，，,则输出x,y的值满足（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)811.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,I平面ABCD=m,I平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)32(B)22(C)33(D)1312.已知函数()sin()(0),24fxx+x，为()fx的零点,4x为()yfx图像的对称轴，且()fx在51836，单调，则的最大值为（A）11（B）9（C）7（D）5第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题,每小题5分。13.设向量)1,(ma，)2,1(b，且222baba，则m．14.5)2(xx的展开式中，3x的系数是．（用数字填写答案）15.设等比数列na满足1031aa，542aa，则naaa21的最大值为．16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品的利润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分。17.（本小题满分12分）ABC△的内角CBA,,的对边分别为cba,,，已知cAbBaC)coscos(cos2.12B-SX-0000013-5--6-FEABCD（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若7c，ABC△的面积为233.求ABC△的周长.18.（本小题满分12分）如图，在以FEDCBA,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，FDAF2，90AFD，且二面角EAFD与二面角FBEC都是60°.（Ⅰ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角ABCE的余弦值.19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求5.0）（nXP，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？12B-SX-0000013-7--8-20.（本小题满分12分）设圆015222xyx的圆心为A，直线l过点)0,1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（Ⅰ）证明EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线1C，直线l交1C于NM,两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设21,xx是)(xf的两个零点，证明：221xx.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，OAB△是等腰三角形，120AOB.以O为圆心，OA21为半径作圆.（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点DC,在⊙O上，且DCBA,,,四点共圆，证明：CDAB∥.CBAOD12B-SX-0000013-9--10-23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,sin1,costaytax(t为参数，0a).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：cos4.（Ⅰ）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C的极坐标方程为0，其中0满足2tan0，若曲线1C与2C的公共点都在3C上，求a.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数321)(xxxf.（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy的图像；（Ⅱ）求不等式1)(xf的解集.xy11o12B-SX-0000013-11--12-2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国I卷试题答案一、选择题题号123456789101112答案DBCBAADCCBAB二、填空题13．-214.1015.6416.216000三、解答题17.解：⑴2coscoscosCaBbAc由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABC∵πABC，0πABC、、，∴sinsin0ABC∴2cos1C，1cos2C∵0πC，∴π3C⑵由余弦定理得：2222coscababC221722abab237abab1333sin242SabCab∴6ab∴2187ab5ab∴ABC△周长为57abc18．解：(1)∵ABEF为正方形∴AFEF∵90AFD∴AFDF∵=DFEFF∴AF面EFDCAF面ABEF∴平面ABEF平面EFDC⑵由⑴知60DFECEF∵ABEF∥AB平面EFDCEF平面EFDC∴AB∥平面ABCDAB平面ABCD∵面ABCD面EFDCCD∴ABCD∥∴CDEF∥∴四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，如图建立坐标系，设FDa000020EBa，，，，3022022aCaAaa，，，，12B-SX-0000013-13--14-020EBa，，，3222aBCaa，，，200ABa，，设面BEC法向量为mxyz，，.00mEBmBC，即11112032022ayaxayaz111301xyz，，301m，，设面ABC法向量为222nxyz，，=00nBCnAB.即22223202220axayazax222034xyz，，034n，，设二面角EBCA的大小为.4219cos1931316mnmn∴二面角EBCA的余弦值为2191919.解：⑴每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件iA为第一台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i记事件iB为第二台机器3年内换掉7i个零件1,2,3,4i由题知1341340.2PAPAPAPBPBPB，220.4PAPB设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能的取值为16，17，18，19，20，21，2211160.20.20.04PXPAPB1221170.20.40.40.20.16PXPAPBPAPB132231180.20.20.20.20.40.40.24PXPAPBPAPBPAPB14233241190.20.20.20.20.40.2PXPAPBPAPBPAPBPAPB0.20.40.24243342200.40.20.20.40.20.20.2PXPAPBPAPBPAPB3443210.20.20.20.20.08PxPAPBPAPB44220.20.20.04PxPAPBX16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04⑵要令0.5Pxn≤≥，0.040.160.240.5，0.040.160.240.240.5≥则n的最小值为19⑶购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用当19n时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040当20n时，费用的期望为202005000.0810000.044080所以应选用19n20.(1)圆A整理为22116xy，A坐标1,0，如图，BEAC∥，则CEBD∠∠，由,ACADDC则∠∠，543211234y141210864224xEDABC12B-SX-0000013-15--16-EBDD∠∠，则EBED4AEEBA