高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案

2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第1页共6页1．在[]Fx里一定能整除任意多项式的多项式是【B】A．零多项式B．零次多项式C．本原多项式D．不可约多项式2．设()1gxx是6242()44fxxkxkxx的一个因式，则k【C】A．4B．3C．2D．13．A,B是n阶方阵，则下列结论成立的是【C】A.ABOAO且BOB.0AAOC．0ABAO或BOD.1||AIA4．设n阶矩阵A满足220AAI，则下列矩阵哪个不可逆【B】A.2AIB.AIC．AID.A5．设A为3阶方阵，且1)(Ar，则【A】A.0)(*ArB.1)(*ArC．2)(*ArD.3)(*Ar6．设*A为n阶方阵A的伴随矩阵，则AA*=【D】A.2||nAB.||nAC．2||nnAD.21||nnA7．下列对于多项式的结论正确的是【D】A.如果)()(,)()(xfxgxgxf，那么)()(xgxfB.如果多项式在有理数域上可约,则它一定存在有理根C.每一个多项式都有唯一确定的次数D.奇数次实系数多项式必有实根8．方程组为bAX，且rArAr，则和原方程组同解的方程组为【A】A.PbPAX（P为可逆矩阵）B.bQAX（Q为初等矩阵）C．bXATD.原方程组前r个方程组成的方程组1．把5)(4xxf表成1x的多项式是4)1(4)1(4)1(4)1(234xxxx；2．设42()fxxxaxb，2()2gxxx，若((),())()fxgxgx，则a6，b8；2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第2页共6页3．当k=5，l=4时，5阶行列式D的项53431212aaaaalk取“负”号；4.设4122011121113101A，则44342414AAAA-20；5．设n2,naaa,...,,21为互不相等的常数，则线性方程组1......1...1...132211232222111321211nnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax的解是(1,0,…,0)；6．01000020...............0001000nn=!)1(1nn.三．计算题（本大题共4个小题，共34分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.1111111111111111xxDyy.得分评卷人1．（本小题6分）2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第3页共6页:分分分解第一列第二列第三列第四列第二行第一行第四行第三行60140001100001012001111001111:222)1()1()1()1(yxyyxyyxxyyyxxx2．（本小题8分）k为何值时，齐次线性若方程组0300321321321xxxxkxxxxkx有非零解，并求出它的一般解.解:组有非零解01131111kk，得1k--------2分对系数矩阵施行行初变换如下:00021102101113111111--------6分故一般解为323121,21xxxx(3x为自由未知量)---------8分3．（本小题8分）设A=321011330，BAAB2，求B.得分评卷人得分评卷人2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第4页共6页解:易知AIAB1)2(--------2分而212121232121232321121011332)2(11IA--------6分故011321330321011330212121232121232321B--------8分4．（本小题12分）取何值时，线性方程组123123123(1)0(1)3(1)xxxxxxxxx有唯一解？无解？有无穷多解？并在有解时写出解.解:对增广阵施行行初变换如下:)3)(1()3(0030111)1()2(0301110111311111130111111111A---------4分易知1)当0)3(,即30且时,3)()(ArAr,组有唯一解1,2,1321xxx---------8分得分评卷人2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页2)当3时,2)()(ArAr未知量个数,组有无穷多解,2,13231xxxx(3x为自由未知量)---------10分3)当0时,2)()(1ArAr,组无解---------12分四．证明题：（本大题共2个小题，共18分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.1．（本小题10分）证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和.证:设A为m×n矩阵且秩A=r，则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵Q，使AIPAQr000----------2分又rrEEEA2211----------4分rrrBBBQEpQEPQEPA211112211111----------8分由于秩Bk=秩（P-1ErrQ-1）=秩Ekk=1所以A可表成r个秩为1的矩阵之和.----------10分2．（本小题8分）设)(xf是一个整系数多项式，证明：若)0(f与)1(f都是奇数，则)(xf不能有整数根.证明:用反证法假设)(xf有整数根,则)()()(xgxxf,其中)(xg为整系数多项式,--------3分于是)1()1()1(),0()0(gfgf--------5分即)1(|)1(),0(|ff但)0(f与)1(f都是奇数,而1,不同为奇数,因而矛盾.----------7分得分评卷人得分评卷人2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第6页共6页故)(xf不能有整数根----------8分