北京西城高三数学期末试题

高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-1-北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2012.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数i1i（）（A）1i22（B）1i22（C）1i22（D）1i222．已知圆的直角坐标方程为2220xyy．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）（A）2cos（B）2sin（C）2cos（D）2sin3．已知向量(3,1)a，(0,2)b.若实数k与向量c满足2kabc，则c可以是（）（A）(3,1)（B）(1,3)（C）(3,1)（D）(1,3)4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）3（B）6（C）10（D）155．已知点(,)Pxy的坐标满足条件1,2,220,xyxy那么22xy的取值范围是（）（A）[1,4]（B）[1,5]高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-2-（C）4[,4]5（D）4[,5]56．已知,abR．下列四个条件中，使ab成立的必要而不充分的条件是（）（A）1ab（B）1ab（C）||||ab（D）22ab7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）（A）8（B）83（C）4（D）438．已知点(1,1)A．若曲线G上存在两点,BC，使ABC△为正三角形，则称G为型曲线．给定下列三条曲线：①3(03)yxx；②22(20)yxx；③1(0)yxx．其中，型曲线的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-3-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.函数21()logfxx的定义域是______．10．若双曲线221xky的一个焦点是(3,0)，则实数k______．11．如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若32PABC，则PBBC______．12.已知{}na是公比为2的等比数列，若316aa，则1a；22212111naaa______．13.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若25b，4B，5sin5C，则c；a．14.有限集合P中元素的个数记作card()P.已知card()10M，AM，BM，AB，且card()2A，card()3B.若集合X满足AXM，则集合X的个数是_____；若集合Y满足YM，且AY，BY，则集合Y的个数是_____.（用数字作答）高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-4-三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()3sinsincosfxxxx，π[,π]2x.（Ⅰ）求()fx的零点；（Ⅱ）求()fx的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，12ABBCAA，90ABC，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：1AB∥平面1ADC；（Ⅱ）求二面角1CADC的余弦值；（Ⅲ）试问线段11AB上是否存在点E，使AE与1DC成60角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-5-18.（本小题满分13分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的一个焦点是(1,0)F，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于,MN两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点0(0,)Py，求0y的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR.（Ⅰ）若2x是)(xf的极值点，求a的值；（Ⅱ）求)(xf的单调区间；（Ⅲ）若)(xf在[0,)上的最大值是0，求a的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,nnAaaa.如果数列12:,,,nnBbbb满足1nba，11kkkkbaab，其中2,3,,kn，则称nB为nA的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,Aaaaa的“衍生数列”是4:5,2,7,2B，求4A；（Ⅱ）若n为偶数，且nA的“衍生数列”是nB，证明：nB的“衍生数列”是nA；（Ⅲ）若n为奇数，且nA的“衍生数列”是nB，nB的“衍生数列”是nC，„.依次将数列nA，nB，nC，„的第(1,2,,)iin项取出，构成数列:,,,iiiiabc.高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-6-证明：i是等差数列.北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A；2.B；3.D；4.C；5.D；6.A；7.D；8.C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.{|01xx，或1}x；10.18；11.12；12.2，1(14)3n；13.22，6；14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）解：令()0fx，得sin(3sincos)0xxx，„„„„„„1分所以sin0x，或3tan3x.„„„„„„3分由sin0x，π[,π]2x，得πx；„„„„„„4分由3tan3x，π[,π]2x，得5π6x.„„„„„„5分综上，函数)(xf的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：31π3()1cos2sin2sin(2)2232fxxxx（）.„„„„„„8分因为π[,π]2x，所以π2π5π2[]333x,.„„„„„„9分当π2π233x，即π2x时，)(xf的最大值为3；„„„„„„11分高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-7-当π3π232x，即11π12x时，)(xf的最小值为312.„„„„„„13分解法二：（Ⅰ）解：31π3()1cos2sin2sin(2)2232fxxxx（）.„„„„„„3分令()0fx，得π3sin(2)32x.„„„„„„4分因为π[,π]2x，所以π2π5π2[]333x,.„„„„„„5分所以，当π4π233x，或π5π233x时，()0fx.„„„„„„7分即5π6x或πx时，()0fx.综上，函数)(xf的零点为5π6或π.„„„„„„9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x，即π2x时，)(xf的最大值为3；„„„„„„11分当π3π232x，即11π12x时，)(xf的最小值为312.„„„„„„13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，则2()7PA.„„„„„„2分所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C()()77343P.„„5分（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为2,3,4.„„„„„„7分2227C1(2)C21PX；115227CC10(3)C21PX；2527C10(4)C21PX.„„„„„„10分所以，随机变量X的分布列为:高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-8-X234P12110211021„„„„„„11分11010242342121217EX.„„„„„„13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1AC，交1AC于点O，连结OD.由111CBAABC是直三棱柱，得四边形11ACCA为矩形，O为1AC的中点.又D为BC中点，所以OD为1ABC△中位线，所以1AB∥OD，„„„„„„2分因为OD平面1ADC，1AB平面1ADC，所以1AB∥平面1ADC.„„„„„„4分（Ⅱ）解：由111CBAABC是直三棱柱，且90ABC，故1,,BBBCBA两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyzB.„„„„„„5分设2BA，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1DCACB.所以(1,2,0)AD，1(2,2,1)AC设平面1ADC的法向量为=()x,y,zn，则有10,0.nADnAC所以20,220.xyxyz取1y，得)2,1,2(n.„„„„„„7分易知平面ADC的法向量为(0,0,1)v.„„„„„„8分由二面角1CADC是锐角，得||2cos,3nvnvnv.„„„„„„9分所以二面角1CADC的余弦值为23.（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E.因为E在线段11BA上，)1,2,0(1A，)1,0,0(1B，故可设)1,,0(E，其中02.所以(0,2,1)AE，1(1,0,1)DC.„„„„„„11分因为AE与1DC成60角，所以1112AEDCAEDC.„„„„„„12分高考网联系电话：8261889962164116有困难，上论坛！bj.eduu.com-9-即2112(2)12，解得1，舍去3.„„„„„„13分所以当点E为线段11BA中点时，AE与1DC成60角.„„„„„„14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距是c.依题意，得1c.„„„„„„1分因为椭圆C的离心率为12，所以22ac，2223bac.„„„„„„3分故椭圆C的方程为22143xy.„„„„„„4分（Ⅱ）解：当MNx轴时，显然00y.„„„„„„5分当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为(1)(0)ykxk.由22(1),3412,ykxxy消去y整理得0)3(48)43(2222kxkxk.„„„„„„7分设1122(,),(,)MxyNxy，线段MN的中点为33(,)Qxy，则2122834kxxk.„„„„„„8分所以212324234xxkxk，3323(1)34kykxk.线段MN的垂直平分线方程为)434(1433222kkxkkky.在上述方程中令0x，得kkkky4314320.„„„„„„10分当0k时，3443kk；当0k时，3443kk.所以03012y，或03012y.„„„„„„12分高考网联系电话：826188