高等数学微分中值定理与导数应用习题

微分中值定理与导数应用一、选择题1.设函数()sinfxx在[0,]上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的【】A.B.2C.3D.42.下列函数中在闭区间],1[e上满足拉格朗日中值定理条件的是【】A.xlnB.xlnlnC.xln1D.)2ln(x3.设函数)3)(2)(1()(xxxxf，则方程0)('xf有【】A.一个实根B.二个实根C.三个实根D.无实根4.下列命题正确的是【】A.若0()0fx，则0x是()fx的极值点B.若0x是()fx的极值点，则0()0fxC.若0()0fx，则00xfx，是()fx的拐点D.0,3是43()23fxxx的拐点5.若在区间I上，()0,()0,fxfx,则曲线f(x)在I上【】A.单调减少且为凹弧B.单调减少且为凸弧C.单调增加且为凹弧D.单调增加且为凸弧6.下列命题正确的是【】A.若0()0fx，则0x是()fx的极值点B.若0x是()fx的极值点，则0()0fxC.若0()0fx，则00xfx，是()fx的拐点D.0,3是43()23fxxx的拐点7.若在区间I上，()0,()0,fxfx,则曲线f(x)在I上【】A.单调减少且为凹弧B.单调减少且为凸弧C.单调增加且为凹弧D.单调增加且为凸弧8.下列命题正确的是【】A.若0()0fx，则0x是()fx的极值点B.若0x是()fx的极值点，则0()0fxC.若0()0fx，则00xfx，是()fx的拐点D.0,3是43()23fxxx的拐点9.若在区间I上，()0,()0,fxfx,则曲线f(x)在I上【】A.单调减少且为凹弧B.单调减少且为凸弧C.单调增加且为凹弧D.单调增加且为凸弧10.函数256,yxx在闭区间[2,3]上满足罗尔定理，则=【】A.0B.12C.52D.211.函数22yxx在闭区间[1,2]上满足罗尔定理，则=【】A.0B.12C.1D.212.函数21,yx在闭区间[2,2]上满足罗尔定理，则=【】A.0B.12C.1D.213.方程410xx至少有一个根的区间是【】A.(0,1/2)B.(1/2,1)C.(2,3)D.(1,2)14.函数(1)yxx.在闭区间1,0上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的【】A.0B.12C.1D.1215.已知函数32fxxx在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，则拉格朗日定理成立的是【】A.13B.13C.13D.1316.设273xy，那么在区间)3,(和),1(内分别为【】A.单调增加，单调增加B.单调增加，单调减小C.单调减小，单调增加D.单调减小，单调减小二、填空题1.曲线53)(23xxxf的拐点为_____________.2.曲线xxexf2)(的凹区间为_____________。3.曲线535)(23xxxxf的拐点为_____________.4.函数22lnyxx的单调增区间是___________.5.函数1xyex的极小值点为_____________.6.函数3229123yxxx的单调减区间是___________.7.函数22lnyxx的极小值点为_____________.8.函数xyex的单调增区间是___________.9.函数2xyx的极值点为_____________.10.曲线4326yxx在区间(,0)的拐点为_____________.11.曲线3231yxx在区间(,0)的拐点为_____________.12.曲线3236yxx的拐点为___________.13.函数3226128yxxx的拐点坐标为.14.函数2332xxy在x_______有极大值．15.曲线xxyarctan在0x处的切线方程是___________.16.曲线43341yxx在区间(0,)的拐点为_____________.17.过点)3,1(且切线斜率为x2的曲线方程是y=．三、计算题1.求极限)111(lim0xxex2.求极限011lim()sinxxx3.求极限201limln(1)xxexx4.求极限11lim()1lnxxxx5.求极限2011lim()sinxxxx6.求极限)111(lim0xxex7.求极限20sinlim(1)xxxxxe四、综合应用题1.设函数32()234fxxx.求(1)函数的单调区间；(2)曲线()yfx的凹凸区间及拐点.2.设函数32()33fxxx.求(1)函数的单调区间；(2)曲线()yfx的凹凸区间及拐点.3.设函数32()391fxxxx.求()fx在[0,4]上的最值4.设函数32()4-123fxxx.求(1)函数的单调区间与极值；(2)曲线()yfx的凹凸区间及拐点.5.某工厂要建造一个容积为3002m的带盖圆桶，问半径r和高h如何确定，使用的材料最省？6.求函数()cosxfxex在,上的最大值及最小值。7设函数32()4-123fxxx.求(1)函数的单调区间与极值；(2)曲线()yfx的凹凸区间及拐点.8设函数32()391fxxxx.求(1)函数的单调区间与极值；(2)曲线()yfx的凹凸区间及拐点.9求函数()sincosfxxx在[0,]上的极值.10.试求33fxxx的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标．五、证明题1.证明：当x0时，xxarctan。2.应用拉格朗日中值定理证明不等式：当ba0时，aababbabln。3.设)(xf在]1,0[上可导，且0)1(f。证明：存在)1,0(，使()()0ff成立。4.设()fx在闭区间[0,]上连续，在开区间(0,)内可导，（1）在开区间(0,)内，求函数()sin()gxxfx的导数.（2）试证：存在(0,)，使()cot()0ff..5.设()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且()()0,fafb（1）在开区间(,)ab内，求函数-()()kxgxefx的导数.（2）试证：对任意实数k，存在(,)ab，使()()fkf.6.求函数()arctanfxx的导函数，（2）证明不等式：2121arctanarctanxxxx，其中21xx.（提示：可以用中值定理）7.证明方程5231010xxx有且只有一个大于1的根.8.证明方程52481xxx有且只有一个大于1的根.9.证明方程52371xxx有且只有一个大于1的根.10.设()fx在[,]ab上连续,在(,)ab内二阶可导，()()0fafb,且存在点(,)cab使()0fc.证明：至少存在一点(,)ab，使()0f.11.设()fx在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0f,(1)1.f证明:(1)存在(0,1),使得()1;f(2)存在两个不同的,(0,1),使()()1.ff12.设()fx在[1,2]上有二阶导数，且(1)(2)0ff.又2()(1)()Fxxfx.证明：至少存在一点(1,2)，使()0F13.证明方程410xx在(0,1)上有且只有一个根.14.证明：当x0时，xxarctan.15.设)(xf在),(内满足关系式)()('xfxf，且1)0(f，则xexf)(。（提示：设辅助函数xexfxF）