高中数学人教版选修11配套课件第3章导数及其应用332

3.3.2函数的极值与导数第三章§3.3导数在研究函数中的应用1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.、统称为极值点，和统称为极值.答案f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值思考极大值一定大于极小值吗？答案不一定.答案知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是.极大值极小值答案返回题型探究重点突破解析答案题型一求函数的极值例1求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.反思与感悟解析答案跟踪训练1求函数f(x)＝3x＋3lnx的极值.解函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.解析答案题型二利用函数极值确定参数的值例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.解析答案(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)，当x－1或x1时，f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.反思与感悟解析答案跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求：(1)x0的值；解由图象可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.解析答案(2)a，b，c的值.解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，得3a＋2b＋c＝0，12a＋4b＋c＝0，a＋b＋c＝5，解得a＝2，b＝－9，c＝12.解析答案题型三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；解f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.解析答案(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.解由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.反思与感悟反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.解析答案跟踪训练3设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；解f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.解析答案(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.思想方法等价转化思想的应用例4已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.(1)证明：a＞0；(2)求z＝a＋2b的取值范围.解析答案返回当堂检测12345解析答案1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.C解析答案123452.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为()A.极大值为427，极小值为0B.极大值为0，极小值为427C.极大值为0，极小值为－427D.极大值为－427，极小值为0123453.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.－1a2B.－3a6C.a－1或a2D.a－3或a6解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)0，解得a6或a－3.D解析答案解析答案123454.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为______.解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.9解析答案123455.已知关于x的函数f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，若函数f(x)在x＝1处取得极值－43，则b＝________，c＝________.课堂小结返回1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.