第15讲 二次函数的综合题及应用

第十五讲二次函数的综合题及应用【重点考点例析】考点一：确定二次函数关系式例1（牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．对应训练1．（湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．考点二：二次函数与x轴的交点问题例2（苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=-1B．x1=1，x2=2C．x1=1，x2=0D．x1=1，x2=3对应训练2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．-8B．8C．±8D．6考点三：二次函数的实际应用例3（营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？对应训练3．（武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/℃…-4-20244.5…植物每天高度增长量y/mm…414949412519.75…由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．考点四：二次函数综合性题目例4（自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=12．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．对应训练4．（张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．4．解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：10bkb，解得：b=1，k=-1，∴直线CD的解析式为：y=-x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（-2）2+3，解得a=-12．∴y=-12（x-2）2+3=-12x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（-1，0）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=222246213NCNC．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为213．【聚焦山东中考】1．（淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（2，2）B．（2，2）C．（2，2）D．（2，2）2．（滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．2．解：已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．由题意得：y=x（90-x）×20=-20（x2-90x）=-20（x-45）2+40500当x=45时，y有最大值，最大值为40500．答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．3．（日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x3O00320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．3．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为y=kx+b．由题：3000100320096kbkb，解之得：150160kb，∴y与x间的函数关系是y=-150x+160．（2）如下表：租出的车辆数-150x+160未租出的车辆数150x-60租出的车每辆的月收益x-150所有未租出的车辆每月的维护费x-3000（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：W=（-150x+160）（x-150）-（x-3000）=（-150x2+163x-24000）-（x-3000）=-150x2+162x-21000=-150（x-4050）2+30705当x=4050时，Wmax=307050，即：当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元．故答案为：-150x+160，150x-60．4．（枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4．解：（1）将B、C两点的坐标代入得930-3bcc，解得：-2-3bc；所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3。（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；如图，设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∴OE=EC=32，∴y=-32；∴x2-2x-3=-32解得x1=2102，x2=2102（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（2102，-32）。（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3）；S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB•OC+12QP•BF+12QP•OF=12×4×3+12(-x2+3x)×3=-32(x-32)2+758。当x=32时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为(32，-154)，四边形ABPC的面积的最大值为758．5．（潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=243米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的13？5．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=243米，∠BAC=60°，∴AC=12AB=123米，BC=3AC=36米，∠ABC=30°，∴AD=tan60DG=33x，BE=tan30EF=3x，∵AD+DE+BE=AB，∴33x+y+3x=243，∴y=243-33x-3x=243-433x，即y与x之间的函数解析式为y=243-433x（0＜x＜18）；（2）∵y=243-433x，∴矩形DEFG的面积=xy=x（243-433x）=-433x2+243x=-433（x-9）2+1083，∴当x=9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是1083平方米；（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1=18πAC2，S2=18πBC2，S3=18πAB2，∵AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3，∴S1+S2-S=S3-S△ABC，∴S=S△ABC，∴两弯新月的面积S=12AC•BC=12×123×36=2163（平方米）．如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的13，那么-433（x-9）2+1083=13×2163，化简整理，得（x-9）2=27，解得x=9±33，符合