3-2-组合流变模型

2020/6/161矿山岩体力学华北科技学院安全工程学院3岩石本构关系与强度理论3.4组合流变模型单独应用基本原件表示岩石的性质时，只能描述弹性、塑性或粘性三种性质中的一种性质客观存在的岩石性质都不是单一的，通常都表现出复杂的特性。3岩石本构关系与强度理论3.4组合模型及其性质要准确地描述岩石的性质，必须对三种基本元件进行组合目前，已经提出了几十种流变体的组合模型，这些模型大多是按提出者的名字命名的。组合的方式为串联、并联、串并联和并串联，下面讨论几种组合形式的性质。组合时应力、应变的计算规则：1、串联组合体中各元件的应力相等；应变等于各元件应变之和。2、并联组合体中各元件的应变相等；应力等于各元件应力之和。(1)串联和并联的性质串连即两个或多个元件首尾依次相联的模型。并联即两个或多个元件首与首、尾与尾相联的模型。串连模型：并联模型：kk组合模型及其性质组合模型及其性质(1)串联和并联的性质2121=串联性质1212＝＋＋并联性质＝＝＝kk3.4.1圣维南体（St.V:H-C）圣维南体是理想弹塑性体，由一个弹簧和一个摩擦片串联组合而成。通常用下列符号的等式表示：St.V=H-C圣维南体力学模型（1）本构方程当小于摩擦片的摩擦阻力时（即），弹簧产生瞬时弹性变形，而摩擦片没有变形，即当时，即克服了摩擦片的摩擦阻力后，摩擦片将在作用下无限制地滑动。所以，其本构方程为：s1/k20,,ssk（2）卸载特性如在某一时刻卸载，使则弹性变形全部恢复但已发生的塑性变形永久保留。0,,ssk3.4.1圣维南体（St.V:H-C）圣维南体代表理想弹塑性体它无蠕变，无松弛也无弹性后效。在此模型中本构关系与时间t无关，故不属于流变模型但它是复合体模型中常见的一个组成部分。,,ssk3.4.2马克斯威尔体（M:H-N）马克斯威尔体是一种弹粘性体，它由虎克体与牛顿体串联而成，即一个弹簧和一个阻尼器串联组合而成。其符号等式为：M=H-N。其力学模型如图所示马克斯维尔体力学模型（1）本构方程由串联关系可得：由于所以其本构方程为：12121211k11k（2）蠕变方程在恒定载荷作用下，则，其本构方程可化简为：解此微分方程，得：上式中：C—积分常数，当t=0时，，则。因此，可得马克斯威尔体的蠕变方程为：00ddt0101tC00k0Ck001tk马克斯威尔体模型有瞬时应变并随着时间增长应变逐渐增大它反映的是等速蠕变，如图所示001tk蠕变方程：马克斯维尔体蠕变曲线（3）松弛方程当保持不变时，则有，因此本构方程可变为：解此方程可得：上式中的积分常数C，在t=0时，（为瞬时应力），可得：0110klnktC000lnC因此，可得到：即可得到松弛方程：由上式可见，当t增大时，将减小，也就是当应变恒定时，应力随时间的增长而逐渐减小，即马克斯威尔体模型具有松弛效应，如图b所示。0lnkt0kte马克斯维尔体松弛曲线也可从物理模型概念来理解松弛现象，即当t=0时，粘性元件来不及变形，只有弹性元件产生变形。但随时间增长粘性元件在弹簧的作用下逐渐变形，随着阻尼器的伸长，弹簧的变形逐渐得到恢复，因此，弹簧中的应力逐渐较小，所以出现应力松弛。马克斯维尔体力学模型马克斯威尔体具有瞬时变形、等速蠕变和应力松弛等性质，可用本模型来描述具有这些性质的岩石。马克斯威尔体的蠕变曲线和松弛曲线(a)蠕变曲线ot(b)松弛曲线ot瞬变应变量（2）马克斯威尔(Maxwell)体有瞬变性无弹性后效描述岩石的特点具有瞬变性等速蠕变有松弛有残余（永久）变形k3.4.3开尔文体（K:H/N）开尔文体是一种粘弹性体，它由虎克体与牛顿体并联而成，其力学模型如图所示。即：K=H/N（1）本构方程由于二元并联关系可得：因此开尔文体的本构方程为：12121122,kkk开尔文体力学模型（2）蠕变方程如果在时，施加一个不变的应力后，保持恒定，根据本构方程可得：解上述微分方程，可得：式中A为积分常数。0t0001kk0ktAek当时，施加一个瞬时的应力后，由于阻尼器的惰性，没有瞬时应变，因此整个模型在此时没有变形，即。由此可得：这样可得到开尔文体的蠕变方程：从上式可以看出，当时，，即应变趋于常数，这相当于只有一个弹簧的应变，这种模型的蠕变属于稳定蠕变，其蠕变曲线如图所示。0t000Ak01ktekt0k开尔文体蠕变曲线和弹性后效曲线（3）卸载方程在时卸载，即，代入本构方程：解上述微分方程可得：这里当时，，即：由本构方程可知：1tt00k1ktAe1tt1111ktAe111ktAe1011ktek于是可得到卸载方程：由式可知，当t=t1时，应力虽已减为零，此时还有瞬时应变。但随着时间的增长，应变逐渐减小，当时，应变趋于零，这表明阻尼器在弹簧收缩作用下，已恢复了变形，因此，本模型具有弹性后效的性质。101kktteek11ktte或1t（4）松弛方程当模型的应变恒定时，即，此时的本构方程为：由上式可以看出，当应变保持恒定时，应力也保持恒定，并不随时间增加而减小，即本模型没有应力松弛性质。综上所述，开尔文体属于稳定蠕变模型，具有弹性后效性质，没有松弛性质。0常数k3.4.4理想粘塑性体（C/N）理想粘塑性体是由一个库仑体和一个牛顿体并联而成（C/N），其力学模型如图5-11所示。（1）本构方程根据并联规则：这两个元件的本构关系为：根据本构关系可知，当时，，说明此时模型表现为刚体性质。但当时，此时为理想粘塑性体。1212112,0,sss0ss因此，本模型的本构方程为：若以为坐标作图所得的应力-应变率曲线为直线，如图所示。sss0当，当，（5-24）,（2）蠕变方程当时，本模型属于刚体，没有蠕变性质。当时，设有恒载，代入本构方程有：解此微分方程，有：由初始条件确定积分常数C。当时，，则可求得。因此，蠕变方程为：ss0s0sddt0stC0t00C0st此时的蠕变曲线也为斜直线，如图5-13所示。（3）卸载方程当本模型在时刻卸载时，根据模型各元件的特性，卸载后模型停留在卸载时刻的位置上，原来产生的应变全部为永久形变，不能恢复。综合上述，本模型属于理想粘塑性体，没有弹性和弹性后效，有不稳定蠕变。3.4.5广义开尔文体（广义K:H-K）广义开尔文体是由一个开尔文体和一个弹簧串联而成，其力学模型如图所示。符号等式为：广义K=H-K广义开尔文体力学模型（1）本构方程由于串联有：对于弹簧有：对于开尔文体有：所以化简上式可得广义开尔文体本构方程：121212,,111111,kk2222k212kk211k112kkk22111kkkk（2）蠕变方程在恒定载荷作用下，由于广义开尔文体由弹簧和开尔文体两部分组成，其蠕变也是由两部分组成。对于弹簧只有瞬时变形，对于开尔文体，其蠕变方程为，可应用叠加法，所以广义开尔文体在恒定应力作用下的蠕变方程为：001k2021ktek200121ktekk（3）弹性后效（卸载效应）如果在时刻卸载，虎克体产生的弹性变形立即恢复，但是开尔文体的变形则需要经过较长时间才能恢复到零，其卸载方程和开尔文体的卸载方程相类似，只是用代替即可。广义开尔文体的蠕变曲线和弹性后效曲线，如图所示。1t01k23.4.6饱依丁-汤姆逊体（PTh：H/M）饱依丁-汤姆逊体是一种粘弹性体，它由马克斯威尔体和一个虎克体并联而成，其力学模型如图5-16所示。符号等式为：PTh=H/M（1）本构方程本模型是由马克斯威尔体与虎克体并联而成，由并联规则：由马克斯威尔体的本构关系可得：由（e）则：12121212（a）（b）（c）（d）11111k（e）111k（f）由虎克体可得：由（d）可得：将（i）代入（f）中，得：将（g）、（j）代入（b）中，得：化简上式即可得到本模型的本构方程：22k22k（g）（h）122k（i）121kk（j）221kkk11212kkkkk（5-28）（2）蠕变方程当在恒定的应力作用下，此时，则本构方程变为：（k）解上述（k）式微分方程，可得：（5-29）00112012kkkkk1212012121kktkkkekkk从（5-27）分析可以得出：（a）当时，；（b）当时，可得：。由（a）（b）可知（5-29）式所表达的蠕变曲线如图5-17所示，且此蠕变属于稳定蠕变。0t0012kkt02k（3）卸载方程（弹性后效）若本模型在受恒载的时刻突然卸载，此时产生的蠕变应变为：为了研究模型卸载后应变变化情况，因此令此时刻为零时刻，即，并且有，根据（k）式可得：解（l）式微分方程可得：01tt121120112121kktkkkekkk0t012120kkkk（l）12121kktkke（5-30）从（5-30）式可以看出：当时的应变；当时，。应力在时刻就已经为零了，而应变则需要更长时间才能回零本模型具有弹性后效性质。0t1t01tt（4）松弛效应饱依丁-汤姆逊体是由一个马克斯威尔体和一个虎克体并联而成，前面我们已经知道马克斯威尔体具有松弛效应。（4）松弛效应因此，如果保持本模型的不变，即保持不变，此时根据（a）和（b）式，保持恒定，而由于松弛效应而减小，使得也减小。由此看来，本模型具有松弛性质。2213.4.7宾汉姆体宾汉姆体是由一个虎克体与一个理想粘塑性体串联而成，其力学模型如图5-18所示。（1）本构方程由串联可得：对于虎克体有：对于理想粘塑性体有：因此，宾汉姆体的本构方程为：（5-31）12312111,kks22ss00当时，，当时，ssskkk当时，，当时，（2）蠕变方程当模型在恒定应力的作用下，此时。若时，理想粘塑性体没有变形，只有弹簧有变形，但没有蠕变；若时，根据本构方程（5-31）式第二式可得：解此微分方程，得：式中积分常数C可通过