2.1.2-直线方程的两点式和一般式(第二课时)

1.2直线的方程1.2.2直线方程的两点式和一般式第二章解析几何初步•1点斜式方程:y-y0=k(x-x0)条件：k是直线的斜率，(x0，y0)是直线上的一个点斜截式方程:y=kx+b条件：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距直线方程的点斜式和斜截式是什么？适用条件是什么？两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程能否用“公式”直接写出来呢？本节课我们就来学习！1．了解直线方程的两点式的推导过程，记住直线的两点式和一般式方程．（重点）2．会求直线的两点式和一般式方程．（难点）已知直线l上两点1122(,),(,)AxyBxy（其中1212,xxyy），如何求直线l的方程呢？探究点1直线方程的两点式思考1：由点斜式方程得211121()yyyyxxxx，根据A,B两点的坐标算出直线的斜率2121yykxx，可化为112121yyxxyyxx．这个方程称为直线方程的两点式．两点式方程不能表示和坐标轴垂直的直线方程.左边全为y，右边全为x，两边的分母全为常数，分子，分母中的减数相同.记忆特点：若点P1（x1,y1），P2（x2,y2）中有x1＝x2或y1=y2,此时过这两点的直线方程是什么？当x1＝x2时方程为：x＝x１当y1=y2时方程为：y=y１思考2：思考3：直线方程的两点式不能表示有什么特征的直线?提示：直线方程的两点式中要求x1≠x2,y1≠y2,即两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，即它只能表示斜率存在且不为零的直线.例1．求经过两点(,0),(0,)PaQb的直线l的方程（其中0ab）．解：因为直线l经过点(,0),(0,)PaQb，所以直线l的两点式方程为0,00yxaba整理得1xyab.截距式方程1xyab注意：（１）其中,a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距；（２）截距不是距离，可正可负可为零．通常称为直线方程的截距式.思考4：截距式与两点式的关系是什么？提示：截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.当直线l经过(a，0)和(0，b)两点时，将这两点的坐标代入两点式，得化简得y0xa,b00axy1.ab【变式练习】1.经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x轴上的截距为（）A．B．C．D．2232-33-2A2.求过点P(1,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.解：当直线过原点时，由于斜率为故直线方程为y=3x；当直线不过原点时，设方程为将点P(1,3)代入得a=-2,故直线方程为y=x+2.综上可得，y=3x,y=x+2.303.10xy1.aa在利用截距式方程求直线方程时，要对截距是否为零进行讨论，当截距不为零时可以用截距式，当截距为零时，直线方程不能用截距式表示.特别提醒：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成0AxByC(,AB不同时为0)的形式吗?探究点2直线方程的一般式过点00(,)Pxy与x轴不垂直的直线方程都可写成点斜式形式00()yykxx,它可化为000kxykxy的形式.思考：过点00(,)Pxy且垂直于x轴的直线方程为0xx,它可化为000xyx.均为C0AxBy(,AB不同时为0)的形式.平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成C0AxBy(,AB不同时为0)的形式．直线方程的一般式关于,xy的二元一次方程C0AxBy(,AB不同时为0)表示的是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.在无特殊说明的条件下，直线方程写成一般式.思考1：“A,B不同时为零”指的是什么？提示：“A,B不同时为零”指的是A,B中至少有一个不为零，它包括三种情况：①A≠0且B≠0，②A≠0且B=0，③A=0且B≠0.思考2：当A,B同时为零时，方程Ax+By+C=0表示什么？提示：当C=0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图像，故方程Ax+By+C=0,不一定代表直线,只有当A,B不同时为零时,即A2+B2≠0时才代表直线.例2.已知直线经过点(4,3)A,斜率为23.求直线的点斜式方程,并化为一般式方程.解:由已知及点斜式方程得23(4)3yx,化为一般式方程为2310xy.例3.已知三角形三个顶点分别是(3,0(2,2),(0,1)AC）,B,求这个三角形三边各自所在直线的方程.解:因为直线AB过(3,0(2,2)A）,B两点，由两点式方程得y020(3)2(3)x，整理得2560xy,这就是直线AB的方程．直线AC过(3,0),(0,1)AC两点，由两点式方程得y010(3)0(3)x整理得330xy,这就是直线AC的方程．直线BC的斜率是1(2)3022k，过点(0,1)C，整理得3220xy，这就是直线BC的方程．由点斜式方程得3(0)2yax．1例４．已知直线l的方程为340xy．求直线l的倾斜角．解：直线l的斜率33k，设直线l的倾斜角为，则3tan(0180)3.由于0k，所以090，故直线l的倾斜角=30．1．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）A.213,B.213,C.123,D.－2，－32．直线过点(－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程为（）A.2x－3y＝0B.x＋y＋5＝0C.2x－3y＝0或x＋y＋5＝0D.x＋y＋5=0或x－y＋5＝03．直线,31kykx当k变动时，所有直线都通过定点（）A.（0，0）B.（0，1）C.（3，1）D.（2，1）BCC4.直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）满足什么条件时，直线过原点（）A.A=B=0B.C≠0，B=0C.C≠0，A=0D.C=0D5.直线l：ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A.1B.－1C.－2或－1D.－2或1D6.下列说法正确的是（）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示1xyab00()yykxxykxb000(,)Pxy121121()()()()yyxxxxyy(0,)Ab111222(,),(,)PxyPxyD1.直线方程的两点式设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是直线l上的任意两点,则：2.直线方程的截距式a，b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距.x1≠x2,y1≠y2112121yyxx,yyxxxy1ab3.直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式.