《集合的概念及基本运算》复习

要点梳理1.集合元素的三个特征:______、______、_______.2.元素与集合的关系是_____或_______关系，用符号___或____表示.3.集合的表示法:______、______、______及_______.§1.1集合的概念及其基本运算基础知识互异性确定性无序性属于不属于∈列举法描述法图示法区间法4.常用数集:自然数集___;正整数集____(或___);整数集___;有理数集___；实数集___.5.集合的分类:按集合中元素个数划分，集合可分为______、______、_____.6.子集、真子集及其性质:对任意的x∈A,都有x∈B,则_______（或______）；若AB,且在B中至少有一个元素x∈B但xA,则_______（或______）;若A含有n个元素，则A的子集有___个，非空子集有_____个，非空真子集有______个.7.集合相等：NN*N+ZQR有限集无限集空集BAAB;,;;CACBBAAAA2n2n-12n-2.，BAABBA则且若8.集合的交、并、补运算：并集A∪B={x|x∈A或x∈B}；交集A∩B={x|x∈A且x∈B}；补集UA={x|x∈U且xA}，U为全集，UA表示A相对于全集U的补集.9.集合的运算性质:并集的性质A∪=A,A∪A=A,A∪B=B∪A,A∪B=ABA;交集的性质A∩=,A∩A=A,A∩B=B∩A,A∩B=AAB;补集的性质1.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩NB=________.解析∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴NB={1,2,4,5,7,8,…}.∴A∩NB={1,5,7}.练习题{1,5,7}2.已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和集合N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素的个数为____.解析由题意知M={x|-1≤x≤3},则M∩N={1,3},有两个元素,故答案为2.23.集合A={0,2,a}，B={1,a2}，若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为_____.解析∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16}∴∴a=4,故答案为4.4.已知全集U=A∪B中有m个元素,(UA)∪(UB)中有n个元素.若A∩B非空，则A∩B的元素个数为_____.解析因为A∩B=U[(UA)∪(UB)]，所以A∩B共有m-n个元素,故答案为m-n.,4162aa4m-n【例1】已知集合A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=b∈Z},C={x|x=c∈Z},则A___B___C(用符号“∈”、“∩”、“∪”、“=”填空).用列举法表示各集合中的元素或用实数的性质分析.解析方法一列举集合中的元素典型例题分析61,312b,612c},,67,32,61,31,{},,619,613,67,61,{BA∴AB,B=C,即A∪B=C.方法二判断集合中元素的共性和差异∴AB,∵3b-2=3(b-1)+1,∴B=C.∴A∪B=C.答案∪=},,35,67,32,61,{CZ}.,|{Z},,|{Z},|{ccxxCbbxxBaaxxA613623，616练习1设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,则实数a=___,b=___.解析由元素的互异性知:a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B,.0,1，1122baabbababa解得或即-10【例2】定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为_____.注意元素的互异性,并利用分类讨论使问题得以解决.解析(1)当x=0时,无论y为何值,都有z=0;(2)当x=1,y=2时,由题意得z=6;(3)当x=1,y=3时,由题意得z=12.故集合A⊙B={0,6,12},故元素之和为0+6+12=18.分析18练习2给定集合A,B,定义AB={x|x=m-n，m∈A,n∈B}.若A={4,5,6}，B={1,2,3},则集合AB中所有元素之和为_____.解析由新的集合运算定义知AB={1,2,3,4,5},故元素之和为15.15【例3】(14分)已知集合A={x|0ax+1≤5},集合B=（1）若AB，求实数a的取值范围；（2）若BA，求实数a的取值范围；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.}.221|{xx解题示范解A中不等式的解集应分三种情况讨论：①若a=0，则A=R；②若a0，则③若a0,则[2分](1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.当a0时，若AB，如图,};|{axaxA14}.|{axaxA41.,,821821214aaaaa则当a0时，若AB，如图,综上知，当AB时,a-8或a≥2.[6分]（2）当a=0时，显然BA；当a0时，若BA，如图,..,22224211aaaaa则当a0时，若BA，如图,综上知，当BA时，[12分]（3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.由（1）、（2）知，a=2.[14分];021.218,21214aaaaa则..,202224211aaaaa则.221a练习3已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若BA,求实数a.解A={3,5},当a=0时,;AB.51310,5131,5131,}.1{,0或或综上或即或则要使时当aaaaaABaBa