大学高数试卷及答案

共10页第1页浙江农林大学2016-2017学年第一学期期中考试课程名称：高等数学Ｉ课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。2、考试时间120分钟。一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分）1．下列各式正确的是：()A.sinlim1xxxB.0sinlim0xxxC.1lim1xxexD.1lim1xxex2.当0x时，与x等价的无穷小量是：()A.11xB.1ln1xxC.1xeD.1cosx3.设()fx在xa的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：()A.1lim()()hhfafah存在B.0(2)()limhfahfahh存在C.0()()lim2hfahfahh存在D.0()()limhfafahh存在题号一二三四五六七八得分得分评阅人学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题得分共10页第2页4.函数33yxx在区间[0,1]上的最小值是：()A.0B.没有C.2D.295.函数21yx在区间[1,1]上应用罗尔定理时，所得到的中值()A.0B.1C.1D.26．设函数20()(1)0axexfxbxx处处可导，那么：()A．1abB．2,1abC．0,1abD．1,0ab7.设xa为函数()yfx的极值点，则下列论述正确的是()A．'()0faB．()0faC．''()0faD．以上都不对二、填空题（每小题3分，共21分）1.极限232)sin(1coslimxxxxx=.2．极限222222lim12nnnnn=.3.设函数f(x)=2310222xxxxax在点x=2处连续，则a.4.函数()sinxfxx的间断点为.5.函数22lnyxx的单调减区间为.6.设函数lntanyx，则dy.7．椭圆曲线cossinxatybt在4t相应的点处的切线方程为.得分共10页第3页三、求下列极限（每小题6分,共18分）1.求极限11sin1lim20xxexx2.求极限123lim6xxxx3.求极限)tan11(lim20xxxx得分共10页第4页四、计算下列导数或微分（每小题分6,共18分）1.设函数22(2)ln(1)xxyxee,求dydx与dy.2.设()yfx是由方程22arctanlnxxyy确定的隐函数，求22ddyx.3.计算函数()1xxyx的一阶导数.得分共10页第5页五、（本题6分）求函数325()2yxx的凹凸区间与拐点.六、（本题6分）设函数()fx在(,)上二阶可导，函数20()()0axbxcxgxfxx，试确定常数,,abc的值，使得函数()gx在0x点二阶可导.得分得分共10页第6页七、（本题5分）证明：当0x时，221ln(1)1xxxx．八、（本题5分）设函数()fx在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3fff，(3)1f.试证：必存在一点(0,3)，使得'()0f.得分得分共10页第7页浙江农林大学2016-2017学年第一学期期中考试参考答案一、单项选择题DBDDACD二、填空题（每小题3分，共21分）1.12．2；3.7；4.,0,1,2,kk；5.1(0,)2；6.csc2xdxx；7.20aybxab三、求下列极限（每小题6分,共18分）1.求极限11sin1lim20xxexx解：原式=20sin2limxxxx………3分0sinlim2xxx………4分12………6分2.求极限123lim6xxxx解：原式=123lim16xxx………2分=6313623lim16xxxxx………5分313lim622xxxee………6分3.求极限)tan11(lim20xxxx解：原式=2300tantanlimlimtanxxxxxxxxx………2分共10页第8页=222200sec11coslimlim33xxxxxx………4分=02cossin1lim63xxxx………6分四、计算下列导数或微分（每小题分6,共18分）1.设函数22(2)ln(1)xxyxee,求dydx与dy.解：22(2)1xxeyxe………4分2[2(2)]1xxedyxdxe………6分2.设()yfx是由方程22arctanlnxxyy确定的隐函数，求22ddyx.解：方程两边同时对变量x求导并化简可得：''yxyxyy从而得到：'yxyyx，………2分上式继续对变量x求导可得：''''''''1yyxyyyyy………4分化简上式并带入'y可得：22''32()xyyyx………6分3.计算函数()1xxyx的一阶导数.解：两边同时取对数得：lnln()[lnln(1)]1xyxxxxx………(2分)两边同时对x求导得：'111[lnln(1)][]ln111yxxxxyxxxx………(5分)从而得'11[ln]ln()[ln]11111xxxyyxxxxxx………(6分)五、（本题6分）求函数325()2yxx的凹凸区间与拐点.解：函数的定义域为(,)，35(1)3xyx，3''45(21)9xyx共10页第9页''1,02xy，''0,xy不存在。………2分''3111(,)(,0)0(0,)222013(,2)22xyy………4分可知325()2yxx函数32(5)yxx在1(,0)2和(0,)上是凹的，在1(,)2内是凸的，拐点为313(,2)22.………6分六、（本题6分）设函数()fx在(,)上二阶可导，函数20()()0axbxcxgxfxx，试确定常数,,abc的值，使得函数()gx在0x点二阶可导.解：因为()gx在0x点二阶可导，所以，()gx在0x点一阶可导、连续。由()gx在0x点连续可得：00lim(0)(0)lim(0)xxgfgc，从而(0)cf……2分由()gx在0x点可导可得：2'''0(0)(0)(0)(0)lim0xaxbxcfgfgbx，从而'(0)bf………4分从而可知：''20()()0axbxgxfxx又由()gx在0x点二阶可导可得：'''''''02(0)(0)(0)(0)lim20xaxbfgfgax，从而''2(0)af………6分共10页第10页七、（本题5分）证明：当0x时，221ln(1)1xxxx．证明：令22()1ln(1)1fxxxxx，则(0)0f……1分因为'2()ln(1)0fxxx，从而()fx在0x时单调递增，………3分从而()(0)0fxf，从而221ln(1)1xxxx………5分八、（本题5分）设函数()fx在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3fff，(3)1f.试证：必存在一点(0,3)，使得'()0f.证明：因为函数()fx在[0,3]上连续，从而函数()fx在[0,2]上连续，故在[0,2]上有最大值和最小值，分别设为,mM，于是(0)(1)(2)3fffmM，………2分从而由介值定理可得，至少存在一点[0,2]c，使得(0)(1)(2)()13ffffc，………3分可验证()fx在[,3]c上满足罗尔定理的条件，故存在[,3][0,3]c，使得'()0f.………5分