线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算

1850年西尔维斯特首先使用矩阵这个词.1855年以后,英国数学家凯莱创立了矩阵理论,至二十世纪,矩阵论已成为一个独立的数学分支,出现了矩阵方程论,矩阵分解论,广义逆矩阵等矩阵的现代理论.由于许多线性或非线性问题都可以转化为对矩阵的讨论,所以它在物理、化学、经济、工程以及现代科技的许多领域都有着广泛的应用,矩阵部分主要讨论三个问题第二部分矩阵理论一矩阵的概念及四则运算三逆矩阵二矩阵的初等变换与矩阵的秩由mn个数aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成的一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵一矩阵的定义：a11a12a1na21a22a2nam1am2amnAmn=记作只能用[]或(),不能用{}第四讲矩阵的概念及其运算1零矩阵一部分特殊矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O例如000022O00000032O00000000033O若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵2方阵例如432122A44722135233B也可以用小写黑体字母3行矩阵与列矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵例如1234,,,527,,表示a11000a22000ann=4对角矩阵：如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵记为=diag(a11,a22,,ann)例如)3,2,1(diag)4,3,1,2(diag3000200014000030000200002数量矩阵是特殊的对角矩阵a11a22anna000a000aA如下形式的n阶矩阵称为数量矩阵5数量矩阵例如2000200028000080000800008如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为I或E100010001I6单位矩阵：单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1例如10001000133EI100001000010000144EIb11b21bn10b22bn200bnnBAa11a12a1n0a22a2n00ann如下形式的n阶矩阵称为上三角形矩阵7三角形矩阵：如下形式的n阶矩阵称为下三角形矩阵例如600740321A3423066400550001B如果n阶矩阵A满足ATA即aijaji),则称A为对称矩阵Aa11a12a1na12a22a2na1na2nann8对称矩阵：例如12325838623863742849762710二矩阵的运算(三)矩阵的转置(四)方阵的行列式(一)矩阵的加法,减法(二)矩阵的乘法(五)几种特殊矩阵(一)矩阵的加法,减法（1）同型矩阵:（2）同型矩阵才能相加减二矩阵行相同，列相同例A=123456B=586253为同型矩阵A=12394568B=586253不同型（3）加法与减法法则:同型矩阵对应元素相加减矩阵加法和减法定义:a11a12a1na21a22a2nam1am2amnAb11b12b1nb21b22b2nbm1bm2bmnBA±B=a11±b11a12±b12…a1n±b1na21±b21a22±b22…a2n±b2n………am1±bm1am2±bm2…amn±bmn设A与B为两个mn矩阵例1设求A+B=?解4321A8765BBA432187651+52+63+74+8681012a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA给定矩阵规定ka11ka12ka1nka21ka22ka2nkam1kam2kamnkA(二)矩阵的数乘实数k遍乘A的所有元素120254301B360615129033B准备：矩阵乘积有意义的条件(1)不是任意二矩阵乘积AB都有意义（2）二矩阵乘积AB有意义的条件是：左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等即Am×sBt×n有意义的条件是s=t且Am×sBs×n=Cm×n（三）矩阵的乘法例1345721225A=B=(1)则AB无意义158572129252764C=D=(2)则CD有意义，且CD是2×3的矩阵设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵AB=b11b12b1j…b1nb21b22b2j…b2nbs1bs2bsj…bsn矩阵的乘法定义a11a12a1sa21a22a2sai1ai2aisam1am2amsc11c12c1nc21c22c2ncm1cm2cmnm×n=cij(i1,2,,m；j1,2,,n)其中ai1b1jai2b2jaisbsjcij=A的第i行与B的第j列的乘积B=求AB及BAA，例1设231231123210解：231231123210AB6783×33223231231123210AB6783033×3B=求AB及BAA，例1设231231123210解：3223231231123210AB6783097353×3B=求AB及BAA，例1设231231123210解：2332231231123210BA4983231231123210AB6783097352×2B=求AB及BAA，例1设231231123210注意一:矩阵乘法一般不满足交换律即ABBA1110例2设A，B，求AB及BA2110解11102110AB311021101110BA3110如果AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换显然AB=BA可交换阵:例3设A，4221B，求AB及BA4263AB42214263解：3216168BA4221426300002×22×2注意二:AB=OA=OorB=O例4设A，5000求A2解00002×2注意三:A2=OA=OA250005000矩阵乘法一般不满足消去律例5设A=1203,B=1004,C=1100求AC=?BC=?解00113021AC=2×2110000114001BC=2×21100注意四:AC=BCA=B例6线性方程组可用矩阵乘法表示a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2am1x1am2x2amnxnbmx1x2xna11a12a1na21a22a2nam1am2amnb1b2bm系数阵例如:2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=1025791-3713-111x1x2x3x4=5310(1)ABBA(3)ABOAO或BO/(2)ACBCAB/矩阵乘法总结:矩阵乘法性质除下列几条外其余和数乘法性质相同(4)A2OAO/乘法一般不满足交换律乘法一般不满足消去律,如果C可逆,则A=B例7设矩阵A,B均为n阶方阵,证明证明2)(BA))((BABA)(BAA)(BABABA22BBA2222)(BABABABAAB2)(BA22BBAABABAAB2222)(BABABA2222)(BABABABAAB(1)2222)(BABABABAAB(2)22))((BABABABAAB(3)(1)4方阵的幂：对于方阵A及自然数k记Ak=AAA(k个A相乘)只有方阵才能自乘规定nnnIA0)(性质：(1)ArAsArs(2)(Ar)sArs注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,则(AB)k=AkBk例8设32131211求(1)A(2)B(3)?nA解A321312111233321231211B312113213nnA)(...n个)(...))((An13如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为In或I100010001I单位矩阵性质对于n阶矩阵A，规定A0IImAmnAmn1AmnAmnInAmn1Amn单位阵与任意矩阵相乘(只要有意义)结果不变练习：1,计算下列矩阵：解：(1)2011101110111011230111011201110113n0111011n(2)a0000c0b02a0000c0b0a0000c0b0a20000c20b20a0000c0b0nan0000cn0bn0n0111(1)(2)a0000c0b0n，2计算4561）A=123B=A×B=1×11×4+2×5+3×6=[32]=3212-242）A=3210B=A×B=1×13×1+2×2+1×(-2)+0×4=[5]=53nnnaaaaA13211,...,,12131...nnnbbBbb11nnBAnaaaa,...,,321123...nbbbbnnbabababa...332211将矩阵A的同号数的行换为同号数的列得到的矩阵称为A的转置矩阵，记为AT或Aa11a21…am1a12a22…am2a1na2n…amn…………Aa11a12…a1na21a22…a2nam1am2…amn…………AT（四）矩阵的转置第1行变为第1列，第2行变为第2列,…第m行变为第m列(4)(AB)TBTAT(A1A2A3….An)T=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T转置矩阵有下列性质(1)(AT)TA(2)(AB)TATBT(3)(kA)TkAT注意矩阵的次序例12135-3-1771911A=251-33-193B=(AB)T==BTAT25791-3713-11121395-3-13则如果n阶矩阵A满足ATA即aijaji),则称A为对称矩阵Aa11a12a1na12a22a2na1na2nann对称矩阵性质(1)kA为对称阵性质设A,B为对称阵,则(2)A+B与A-B为对称阵注AB未必是对称阵10111111例如A=B=是对称阵，但101111111100不是对称矩阵AB=例2设A与B是两个n阶对称矩阵证明：AB对