抛物线及其标准方程

抛物线及其标准方程生活中存在着各种形式的抛物线我们对抛物线已有了哪些认识？yxo二次函数是开口向上或向下的抛物线。CM·Fl·e=1H在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点,直线l叫抛物线的准线d为M到l的距离准线焦点d抛物线的定义:想一想如果点F在直线l上，满足条件的点的轨迹是抛物线吗？2.4.1研一研·问题探究、课堂更高效例1方程2[x＋32＋y－12]＝|x－y＋3|表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析原方程变形为x＋32＋y－12＝|x－y＋3|2，它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线．D小结根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹．注意定义中“点F不在直线l上”这个条件．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.4.1研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1(1)若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析设动点P的坐标为(x，y)．则x－12＋y－12＝|3x＋y－4|10.整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线．D本专题栏目开关填一填研一研练一练2.4.1研一研·问题探究、课堂更高效(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线解析动圆与定圆相外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和，动圆与直线相切，则动圆圆心到直线的距离等于动圆的半径，设动圆圆心为M，半径为r，动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，则点M到定点(2,0)的距离为r＋1，动圆与直线x＝－1相切，则点M到定直线x＝－1的距离是r，所以点M到定点(2,0)和定直线x＝－2的距离相等，故轨迹为抛物线．D本专题栏目开关填一填研一研练一练如何建立直角坐标系？想一想探索研究推出方程求曲线方程的基本步骤·FLl.FMd.FlxF如图，以过点垂直于直线的直线为轴，和垂足K的中点为坐标原点建立直角坐标系.xOyK(,0),:22ppFlx=-则焦点准线抛物线的标准方程：2222244ppxpxyxpx)0(,22ppxy设|FK|=p(p0),M(x,y)由抛物线定义知：|MF|=d22()||22ppxyx即：220ypxp.，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.02p，2px说明：焦点到准线的距离.x它所表示的抛物线的焦点Ｆ在x轴的正半轴上，坐标是（），它的准线方程是.yoLFp的几何意义:已知抛物线的标准方程，求其焦点坐标和准线方程.标准方程焦点坐标准线方程2y=20x20xy巩固练习12520xy20yaxa(5,0)5x1(,0)414x,04a4ax5,0858x抛物线的标准方程抛物线的焦点坐标和准线方程:关键：确定P的值220ypxp.，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.xyoLF一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.想一想:抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式？FlFlFlFl问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗?(1)(2)(3)(4)图形焦点位置标准方程焦点坐标准线方程不同位置的抛物线标准方程x轴的正方向x轴的负方向y轴的正方向y轴的负方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py)0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-（P＞0）抛物线方程左右型标准方程为y2=±2px(p0)开口向右:y2=2px(x≥0)开口向左:y2=-2px(x≤0)标准方程为x2=±2py(p0)开口向上:x2=2py(y≥0)开口向下:x2=-2py(y≤0)抛物线的标准方程上下型1、一次项的变量如为x（或y），则x轴（或y轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。2、一次项的系数符号决定了开口方向。【小结】练习1：请判断下列抛物线的开口方向yx322yx22xy252yx492xy25122xy0322xy练习2：请判断下列抛物线的焦点坐标yx322yx22xy322xy22082xy082yxF(0,8)F(0,)21F(-8,0)F(,0)21F(0,)321F(,0)32114是一次项系数的练习3：请判断下列抛物线的准线方程yx322yx22xy322xy22082xy082yxF(0,8)F(0,)21F(-8,0)F(,0)21F(0,)321F(,0)321是一次项系数的的相反数14▲如何确定各曲线的焦点位置？抛物线：1.看一次项(X或Y)定焦点2.一次项系数正负定开口椭圆：看分母大小双曲线：看符号P58思考：二次函数的图像为什么是抛物线？2(0)yaxa221(0)yaxaxya110)44aa焦点（，准线y=-当a0时与当a0时，结论都为：12pa21:44:52例1已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；解:∵2P=6,∴P=3∴抛物线的焦点坐标是（，0）准线方程是x=232314是一次项系数的是一次项系数的的相反数1421:44:52例2已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求它的标准方程。22P解:因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2=-2py由题意得，即p=4∴所求的标准方程为x2=-8y（课本67页练习1）根据下列条件写出抛物线的标准方程；（1）焦点是（3，0）；（2）准线方程是x=-；（3）焦点到准线的距离是2；41y2=12xy2=xy2=4xy2=-4xx2=4yx2=-4yF（5，0）F（0，-2）x=-5y=2y=-81（课本67页练习2）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=20x（2）x2=y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0F（0，）81x=85F（-，0）8521课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一求抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(3)过点A(2，3)；【例1】[思路探索]式求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝92或n＝43.∴所求的抛物线方程为y2＝92x或x2＝43y.(4)由焦点到准线的距离为52，可知p＝52.∴所求抛物线方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．题型二抛物线定义的应用【例2】[思路探索]解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|，由图可知当A、P、Q三点共线时取最小值．解如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72.即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2，2)．小结：1、学习好一个概念－－抛物线2、掌握好一种题型－－3、注重好一种思想－－数形结合有关抛物线的标准方程和它的焦点坐标、准线方程的求法活页规范训练课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为()．A．(8，8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)解析设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8，故选C.答案C课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析由抛物线的方程得，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.答案62242p课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()．A．2B．3C.D.解析直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选择A.答案A51116375|604|课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练9．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．解析由抛物线方程y2＝2px(p0)，得其准线方程为x＝－，又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3，0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.答案22p2p课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练11．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解法一设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.2p练习：课本67页练习3