固体物理基础参考解答

孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答1复习思考题与习题选编第1章金属自由电子费米气体模型1.试解释金属自由电子气体模型的内容，指出它的成功和不足。答：金属自由电子气体模型的发展经历了三个阶段，首先是1900年特鲁德(Drude)建立的经典的金属自由电子气体模型；之后，1904年洛仑兹（Lorentz）发展了特鲁德模型，主要是引入了经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计规律，所以仍属于经典金属自由电子气体模型；1928年，索末菲在特鲁德模型的基础上，重新考虑了金属晶体中的价电子。按照索末菲的观点，金属中的电子气应服从量子力学原理，应该利用量子力学原理去计算电子气的能量和动量，价电子的能量分布服从费米—狄拉克统计。但是所有金属自由电子气体模型均包括：（1）自由电子近似（freeelectronicapproximation），忽略了电子和离子实之间的相互作用；（2）独立电子近似（independentelectronicapproximation），忽略了电子和电子之间的相互作用；（3）驰豫时间近似（relaxationapproximation），认为电子受到的碰撞和散射由驰豫时间简单描述。它的成功之处是：自由电子气体模型与费米统计的应用，对于理解金属尤其是一价金属的物理本质方面取得了巨大的成功。尽管索末菲模型忽略了正离子和电子之间的强静电作用力。但是本章的学习使我们看到该模型对于以下金属的性质仍能作出满意地解释。如：电子气的比热、泡利顺磁性、金属的电导率、金属的热导率、维德曼－夫兰兹定律、金属对可见光具有高的反射率和简单霍尔效应等。它的不足之处是：尽管该模型能够解释以上诸多金属的性质，但是对于物质为什么会分为导体、绝缘体、半导体以及类金属等则根本无法解释。还有，除去一价金属以外，在定量计算方面和实验结果的偏离极大。如比热、磁致电阻、霍尔系数等。对于某些金属的正的霍尔系数也不能用该模型给出解释。2.试解释k空间？k空间中的态密度？单位体积中的能态密度？答：以波矢k的三个分量kx、ky,、kz为坐标轴的空间称为波矢空间或k空间。在k空间中许可的k值是用分立的点来表示的，每个点表示一个允许的单电子态。k空间单位体积中的状态代表点数，即k空间态密度。单位体积样品中，单位能量间隔内，包含自旋的单电子态数，称为单位体积中的能态密度。孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答23.试解释费米面？费米能级？金属的费米面随温度如何变化？答：把k空间中，N个电子的占据区和非占据区分开的界面叫做费米面(Feimisurface)。基态时，电子填充的昀高能级，称为费米能级εF。由于费米能量和温度满足如下关系2020[1()]12BFFFkTπεεε=−所以，随着温度的升高，会导致费米能稍稍下降。也就是说，自由电子费米气体对应的费米球略有变小。4.试说明电子密度在金属自由电子气体模型中的作用？答：自由电子气体模型可用价电子密度n来描述，而且，n是仅有的一个独立参量。对于给定的金属，价电子密度是已知的。由此，我们可以求得具体的费米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。5.如何理解金属自由电子气体的简并性？答：在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，称为简并性(degeneracy)。在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经典的自由电子气体(Drude)的模型，电子在T=0时的平均能量为零。因此，在T=0K时，金属自由电子气是完全简并的。系统简并性的判据是：0FBkTε因而，只要温度比费米温度低很多，电子气就是简并的，由于费米能量在几个电子伏特，而室温下的热扰动能大约为0.026电子伏特，所以室温下电子气也是高度简并的。6.试解释泡利顺磁性的起因；并说明泡利顺磁磁化率与温度基本无关的原因。答：施加磁场后，在磁场的作用下，自旋取向与磁场相反的电子具有正的附加能：+µBB，自旋取向与磁场相同的电子具有负的附加能：-µBB，从而使得按照泡利原理分布的两支电子，出现非平衡暂态；但是，当达到平衡态时，电子将达到昀大能量费米能εF，意味着高能态的电子(反平行B)将要转向低能态(平行B)，从而导致两个支系中的电子数不同。具有平行于B的自旋磁矩的电子数目增大。如此对全部电子气来说要出现沿磁感应强度B方向的净磁矩，因而，出现了泡利自旋顺磁性。由于T≠0K时泡利顺磁磁化率为220200()[1()]12BBFFkTgπχµµεε=−而024(/)10BFkTε−∼，所以泡利顺磁磁化率与温度基本无关。7.如何理解电子比热系数的测量是研究费米面性质的一个重要手段？答：金属中自由电子费米气体的比热容孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答3220()()3eVVBFuCkgTTTπεγ∂===∂式中220()3BFkgπγε=，称为电子比热容系数。由于电子比热容系数与费米面处的能态密度有关，所以利用电子比热容系数可以直接提供费米面附近能态密度的信息。8.求一维、二维和三维情形下，自由电子的能态密度。分别示意画出一维，二维，三维自由电子气的能态密度曲线，并由此说明对于一维系统是否具有长程序，为什么？答：三维下单位体积的能态密度为32()(2)()nnkdsgkεεπε=∇∫二维情况，等能面退化为等能线，则单位面积的能态密度为22()(2)()nnkdlgkεεπε=∇∫一维情况，等能面退化为两个等能点，则单位长度的能态密度为22()2()/nngdkdkεπε=对于自由电子气体，能量为22()2nkkmε=2()nkkkmε∇=；121(2)kmε=三维下，对应等能面为球面，所以单位体积的能态密度为：211322332232241()(2)(2)8/()nnkdskgmkmkεπεεπππε===∇∫二维下，对应等能面退化为等能线，为圆周长，所以单位面积的能态密度为：222222()244()nnkdLmmgkkkεεππππε==••=∇∫一维下，对应两个等能点，所以单位长度的能态密度为：2222121221()2()/2nmmmgdkdkkmεπεπππεε====孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答4能态密度对应固态电子的能谱分布。从统计物理的角度出发，低能激发态被热运动激发的概率比高能激发态大得多。如果低能激发态的能态密度大，体系的热涨落就强，相应的有序度降低或消失，不易出现有序相。也就是说，低能激发态的能态密度的大小影响着体系的有序度和相变。所以，从计算结果可以看出，三维自由电子体系，在低能态的能态密度趋于零，因而低温下所引起的热涨落极小，体系可具有长程序。对一维自由电子体系来说，从图中可以看出，在低能态的能态密度很大，而且随能量的降低而趋于无穷，因而低温下所引起的热涨落极大，导致一维体系不具长程序。从图中可以看出，二维自由电子体系的能态密度是常数，介于一维和三维中间，体系可具有准长程序，而且极易出现特殊相变，导致新的物理现象。如二维电子气系统中的量子霍尔效应、分数统计等现象。9.什么是费米分布函数？它的物理实质是什么？说明费米分布函数具有哪些特点？解答：T≠0K时，自由电子费米气体在有限温度下的宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量描述。其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克分布函数，费米分布函数可表示为：B()1()e1iikTfεµε−=+上式直接给出了体系在热平衡态(温度为T)时，能量为εi的单电子本征态被一个电子占据的概率。根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平均电子占据数。由费米分布函数表达式和它的物理意义可知0()1ifε≤≤特别是当T=0K时1()0fεµεεµ≤⎧=⎨⎩由上式可知，ε≤µ时的所有状态都被占据，而εµ态上电子占据率为零。所以，在基态T=0K时，化学势相当于占据态和非占据态的分界线，这和前面费米能量的定义相当，所以基态时的化学势和基态费米能量相等。此外，由于热激发能kBT，远小于基态费米能。因而，激发态系统增加或减少一个电子时所增加或减少的能量，即化学势µ和费米能量相差不多。从而对化学势µ和费米能级εF不孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答5加以区分。因此，很多的固体书中把费米分布函数表示为()1()1FBkTfeεεε−=+当T0K时，费米分布函数有1()012fεµεεµεµ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩下图给出了在基态T=0K和较低温度下T0K时的费米分布函数。基态和较低温度下的费米分布函数从()-()11111BBkTkTBfkTeeεµεµε−−∂−=∂++可以看出，(/)fε−∂∂是关于（ε-µ）的偶函数，而且具有类似于δ函数的性质，仅在µ附近kBT的范围内才有显著的值，即()fδεµε∂−≈−∂10.已知铜的质量密度ρm=8.95g/cm3，电阻率ρ=1.55×10-6Ω.cm，试计算：(1)铜的价电子浓度；(2)弛豫时间；(3)费米能量和费米速度；(4)费米面上电子的平均自由程。解答：(1)铜有一个价电子，所以铜的电子浓度：232232836.021018.958.48108.481063.54mAZNnNcmmVAρ−−×××====×=×(2)弛豫时间：221nemmneτστρρ==⇒=∵()311422281989.11102.7108.48101.6101.5510msneτρ−−−−×∴===××××××孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答6(3)费米能量和费米速度：2232,32FFFkknmεπ==∵()222332Fnmεπ∴=()()2342228183311.05571033.148.48101.13107.0629.1110FJeVε−−−×∴=××××=×=××11822631211.13102,1.5810/29.1110FFFFmvvmsmεε−−⎛⎞××=∴===×⎜⎟×⎝⎠∵(4)费米面上电子的平均自由程：61481.58102.7104.2710Flvmτ−−==×××=×i11.已知低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为Ce=2.08TmJ/molK，其中T是温度，请在自由电子气体模型下估算钾的费米温度及费米面上的态密度。解答：在自由电子气体模型下钾的摩尔电子热容量为22eABFTCNZkTπ=222312311142C3.146.021011.381022.081.9710FABeTTNZkTKmolJKTmJmolKKπ−−−−−∴==××××××=×因为：FBFkTε=；()()1322312gmεεπ=所以：()()()11332223231313231422343112212(9.110)1.38101.97103.14(1.05410)FeFeBFgmmkTkgJKKJsεεππ−−−−==⎡⎤=×××××××⎣⎦××11223232246463346325.54105.5410()()5.5410/kgkgJkgmsJkgsmmJss−−⎡⎤⎡⎤××⎣⎦⎣⎦=×=×=×12.证明：孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答7(1)三维自由电子气体基态下的动能为：035FUNε=；(2)基态下电子气体的压强和体积的关系为：023UPV=；(3)基态下电子气体的体弹性模量为：01052393FUPBnVε===式中εF为费米能量，N表示体积为V的金属内的价电子数目，n为电子密度。解答：(1)三维自由电子气体的基态能量U0，可由费密球内所有单电子能级的能量相加得到。22022FkkkUm≤=∑因子2源于泡利不相容原理,由此,单位体积自由电子气体的基态能量为22022FkkUkVVm≤=∑考虑到33(2)1(2)kkVVππ∆∆=→=所以2203282FkkUkkVmπ≤=∆∑由于电子数目非常大，可认为量子化的波矢在费米球内准连续分布，因而上述求和可过渡为积分，从而求得单位体积自由电子气体的基态能为2222252033202214828210FFkFkkUkkkdkkdkVmmmππππ≤===∫∫所以三维自由电子气体的基态能量U0，2502133