§2.1-圆的标准方程

§2圆与圆的方程2.1圆的标准方程1.两点间距离公式已知P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，则22122121PPxxyy要化为一般式xyP0(x0,y0)O:0lAxByCSR0022||AxByCdABQd2.点到直线的距离公式一石激起千层浪奥运五环福建土楼乐在其中小憩片刻生活掠影定点定长圆心半径·rC初中学习的圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合.在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（重点）2.会用待定系数法求圆的标准方程．（难点）思考1：直线可以用一个方程来表示，圆是否也可以用一个方程来表示？你能推导出圆心为A(a,b)，半径为r的圆的方程吗？探究点圆的标准方程AMrxoy(x,y)(a,b)222xaybr设点M(x,y)为圆A上任一点，|MA|=r则P={M||MA|=r}圆上所有点的集合22()()xaybr-+-=圆的标准方程xyOCM(x,y)222(xa)(yb)r(r0)圆心C(a,b),半径r若圆心为O（0，0），则圆的方程为：222xyrx,y的系数相同思考2：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有几个待确定的量?要求它们需几个独立的条件？提示：三个待确定的量a,b,r；要求它们需三个独立的条件.例1.求以C(4,-6)为圆心，半径等于3的圆的方程.解:将圆心C（4，-6）、半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为224)(6)9.xy（(x+3)2+(y-4)2=5【变式练习】写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(-3,4)，半径是(x-8)2+(y+3)2=25(2)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)5解：根据已知条件，圆心C（a,b)是M1M2的中点，那么它的坐标为例2.已知两点M1(4,9)和M2(6,3)，求以M1M2为直径的圆的方程.46935,6,22ab++====所求圆的方程为圆的半径为122r|C|(45)(96)M10.==-+-=22(5)(6)10.xy-+-=温馨提示：中点坐标：A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为1212(,).22xxyy例3.的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．ABC分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．因为A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程.解：设圆方程为222(xa)(yb)r.则222222222(5a)(1b)r,(7a)(3b)r,(2a)(8b)r.2416,1.abab所以得a2,b3,r5.所以，所求圆的方程为22(2)(3)25.xyy-8【变式练习】已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.解：因为A(1,1),B(2，-2),所以AB的中点31(,),22D213.21ABk所以AB的垂直平分线的方程为113(),232yx即330.xy由330,10,xyxy得3,2.xy所以C(-3,-2),22(13)(12)5.rAC所以所求圆的标准方程为22(3)(2)25.xyDxyO【提升总结】待定系数法求圆的方程的步骤(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组.(3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.探究点2点与圆的位置关系思考1：点与圆的位置关系有几种?提示：三种.分别为点在圆内，点在圆上和点在圆外三种情形.思考2：在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C：,如何判断点M在圆外、圆上、圆内？222()()xaybr(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内.提示：解：由P1P2为直径可知圆心的坐标为(4,6)，半径为，所以圆方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5，把M，Q两点坐标代入圆的方程(6－4)2＋(3－6)2＝13＞5(8－4)2＋(1－6)2＝41＞5所以M，Q两点均在圆外．5例4.已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(6,3)，Q(8,1)是在圆上,圆外还是圆内？圆心(2,－4)，半径1.求下列圆的圆心与半径⑴圆(x－1)2+(y－1)2=9.⑵圆(x－2)2+(y+4)2=2.2.⑶圆(x+1)2+(y+2)2=m2.圆心(1,1)，半径3.圆心(－1,－2)，半径|m|.2.你能快速说出下列圆的标准方程吗？（1）圆心C（-3，4），半径为5.（2）圆心C（2，-1），半径为3.22(3)(4)25xy22(2)(1)9xy3.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是()A.-1＜a＜1B.0＜a＜1C.a＞1或a＜-1D.a=±1【解析】由于点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,所以(1-a)2+(1+a)2＜4，a2＜1，所以-1＜a＜1.A4.（2013·山东高考）过点(3，1)作圆22(2)(2)4xy的弦，其中最短的弦长为__________【解析】半径为2r，圆心为2,2，圆心到点3,1的距离2232122d,所求最短弦长为2222222【答案】22.5.写出下列各圆的方程：(1)经过点P(5，1)，圆心为点C(6，-2)；(2)过A(2,5),B(0,-1)点，且以为直径的圆.答案:(1)(2)22(1)(2)10xy-+-=22(6)(2)10xy-++=AB6.写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M（5，-7），N（0，-1）是否在这个圆上？点M在圆上，点N在圆内.22(2)(3)25xy-++=7.过点A（1，-1），B（-1,1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.解：设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，根据已知条件可得（1-a）²+（-1-b）²=r²，①（-1-a）²+（1-b）²=r²，②a+b-2=0，③联立①，②，③，解得a=1，b=1，r=2．所以所求圆的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=4．1.圆的方程的推导步骤：建系设点→写条件→列方程→化简→说明2.圆的方程的特点：点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径.3.求圆的方程的两种方法：待定系数法和直接法.4.点与圆的位置关系.不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开心扉.——培根