二维傅里叶变换

二维傅里叶变换一．二维傅里叶变换的定义二维傅里叶变换：𝐹(𝑢,𝑣)=∫∫𝑓(𝑥,𝑦)𝑒−𝑗2𝜋(𝑢𝑥+𝑢𝑦)+∞−∞𝑑𝑥𝑑𝑦+∞−∞二维傅里叶逆变换：𝑓(𝑥,𝑦)=∫∫𝐹(𝑢,𝑣)𝑒𝑗2𝜋(𝑢𝑥+𝑢𝑦)+∞−∞𝑑𝑢𝑑𝑣+∞−∞原理解释：二维傅里叶变换的具体积分区间取决于函数f(x,y)的定义域。x，y的积分顺序可交换，因此对f(x,y)做二维傅里叶变换，相当于对两个方向分别做一维傅里叶变换，此外，傅里叶变换的一大特点就是它是线性变换，即信号线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的线性组合。离散傅里叶变换：由于实际信号通常位离散信号，且处理的信号也不可能是无限长的。因此对离散二维信号的处理使用的是离散二维傅里叶变换。离散二维傅里叶变换：𝐹(𝑢,𝑣)=1𝑀𝑁∑∑𝑓(𝑥,𝑦)𝑒−𝑗2𝜋(𝑢𝑥𝑀+𝑣𝑦𝑁)𝑁−1𝑦=0𝑀−1𝑥=0离散傅里叶逆变换为𝑓(𝑥,𝑦)=∑∑𝐹(𝑢,𝑣)𝑒𝑗2𝜋(𝑢𝑥𝑀+𝑣𝑦𝑁)𝑁−1𝑣=0𝑀−1𝑢=0傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。一维的傅里叶变换表示的含义是，原信号变换为不同频率的正弦波信号的线性组合。而推广到二维，则表示将原信号变换为复平面上不同方向和频率的正弦波信号的线性组合。变换结果中，越靠近原点，频率越低，越远离原点，频率越高在图像处理中，对图像的二维离散傅里叶变换将图像从图像空间变换到频域空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。坐标轴意义是频率，越靠近原点，频率越低，对应于图像中像素值变化速度比较慢的部分；越远离原点，频率越高，对应于图像中像素值变化速度快的那部分。对图像作二维离散傅里叶变换，得到的结果一般来说靠近原点周围比较亮，远离原点比较暗，也就是这张图像里低频部分的分量多，高频部分的分量少，原因是图像大部分都是颜色相近，灰度相近的区域。二．二维傅里叶变换的性质1.线性定理𝐹[𝛼𝑔(𝑥,𝑦)+𝛽ℎ(𝑥,𝑦)]=𝛼𝐺(𝑢,𝑣)+𝛽𝐻(𝑢,𝑣)2.空间缩放𝐹[𝑔(𝑎𝑥,𝑏𝑦)]=1|𝑎𝑏|𝐺(𝑢,𝑣)3.位移定理空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变.频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移。3.Parseval定理∫∫|𝑓(𝑥,𝑦)|2𝑑𝑥𝑑𝑦+∞−∞+∞−∞=∫∫|𝐹(𝑢,𝑣)|2𝑑𝑢𝑑𝑣+∞−∞+∞−∞信号的能量由|𝐹(𝑢,𝑣)|2曲线下面积给出，或者说等于各频率分量的能量之和。|𝐹(𝑢,𝑣)|2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率)。4.卷积定理𝐹[𝑔(𝑥,𝑦)∗ℎ(𝑥,𝑦)]=𝐺(𝑥,𝑦)∗𝐻(𝑥,𝑦)三．对图像进行二维离散傅里叶变换由此可看出，二维离散傅里叶变换是一维离散傅里叶变换在二维上的推广，上面的图形可看做一维方波信号在二维上的推广。而变换得到的结果也可看出是一维傅里叶变换在二维上的推广。附MATLAB代码：i=imread('cameraman.tif');%读入原图像文件figure(1);%设定窗口imshow(i);%显示原图像colorbar;%显示图像的颜色条title('原图像')%图像命名j=fft2(i);%二维离散傅立叶变换k=fftshift(j);%直流分量移到频谱中心l=log(abs(k));%数字图像的对数变换figure(2);%设定窗口imshow(l,[]);%显示原图像colorbar;%显示图像的颜色条title('经过二维快速傅立叶变换后的图像')%图像命名n=ifft2(j)/255;%逆二维快速傅里叶变换figure(3);%设定窗口imshow(n);%显示原图像colorbar;%显示图像的颜色条title('经过二维快速傅立叶逆变换后的图像')%图像命名m=fftshift(j);%直流分量移到频谱中心RR=real(m);%取傅立叶变换的实部II=imag(m);%取傅立叶变换的虚部A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225;%归一化figure(4);%设定窗口imshow(A);%显示原图像colorbar;%显示图像的颜色条title('离散傅立叶频谱')；%图像命名