2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第三章 3.3.2函数的极值与导数

3.3.23.3.2函数的极值与导数【学习要求】1.了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.21.极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(x)＜0f′(x)＞0填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧，右侧，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.、统称为极值点，和统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是.f′(x)＞0f′(x)＜0极大值点极小值点极大值极小值极大值极小值填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2答案以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.结论问题1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2问题2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答案函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个.问题3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明.答案可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点.可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同.例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x0和x0时均有f′(x)0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.`研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2思考函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点.解析由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减.所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.故填1.1研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2例1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值.解f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗10↘－22↗由表可知：当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10.当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2小结求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2跟踪训练1求函数f(x)＝3x＋3lnx的极值.解函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2探究点二利用函数极值确定参数的值问题已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？答案解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值.需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2例2已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.解因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.解之得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.小结(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2跟踪训练2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.解(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解方程组得，a＝－23，b＝－16.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2(2)由(1)可知f(x)＝－23lnx－16x2＋x.f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－x－1x－23x.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2探究点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2.因为当x2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.小结用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围.解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数.f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.2只需4＋k0或－4＋k0(如图所示)即k－4或k4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞).研一研·问题探究、课堂更高效或本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.21.“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立.故选B.B练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.22.下列函数存在极值的是()A.y＝1xB.y＝x－exC.y＝x3＋x2＋2x－3D.y＝x3解析A中f′(x)＝－1x2，令f′(x)＝0无解，∴A中函数无极值.B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x0时，f′(x)0，当x0时，f′(x)0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－200.∴y＝f(x)无极值.D也无极值.故选B.B练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.23.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.－1a2B.－3a6C.a－1或a2D.a－3或a6解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)0，解得a6或a－3.D练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3.24.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为___________.解析y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a).由题意知ln(－a)0，∴a－1.(－∞，－1)练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练3.3