2016高考数学常见题型(第五辑)：函数与导数、不等式综合题

函数与导数、不等式综合题在高考中，函数与导数的综合解答题基本上每年都有，其分值一般占12～14分，所以做好函数与导数解答题尤其重要．试题多以函数知识为载体设置，主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，充分体现导数的工具性，一般试题难度较大．函数的综合问题已知函数f(x)＝log122－axx－1(a是常数且a2)．(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围．【解】(1)∵2－axx－10，∴(ax－2)(x－1)0，①当a0时，函数的定义域为－∞，2a∪(1，＋∞)；②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0a2时，函数的定义域为1，2a.(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数，∴只要使2－axx－1在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g(x)＝2－axx－1，当a＝0时，g(x)＝2x－1在(2,4)递减，且g(4)0满足题意；当a≠0时，显然a≠2，法一：g′(x)＝－ax－1－2－axx－12＝a－2x－12，∴当a－20，即a2时，g′(x)≤0.①a0时，g(4)0满足题意；②0a2时，必有2a≥4，∴0a≤12.综上所述，a∈－∞，12.法二：∵g(x)＝2－axx－1＝－a＋2－ax－1，(即y＋a＝2－ax－1对称中心是()1，－a，单调区间是()－∞，1和()1，＋∞，形如y′＝2－ax′)，∴要使g(x)＝－a＋2－ax＋1在(2,4)上是减函数，只需2－a0，∴a2，以下步骤同法一．点评：熟练掌握函数的基本性质，还要养成良好的解题习惯，如：定义域优先；二次函数二次项含有系数必须要先讨论；函数的单调性证明用求导是通法外，针对不同的题型还有不同的特殊法等等，需要同学们归纳总结．函数、导数与方程已知函数f(x)＝x2－alnx在(1,2]是增函数，g(x)＝x－ax在(0,1)为减函数．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)求证：当x0时，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．【解】(1)f′(x)＝2x－ax，依题意f′(x)≥0，x∈(1,2]，即a≤2x2，x∈(1,2]．∵上式恒成立，∴a≤2.①又g′(x)＝1－a2x，依题意g′(x)≤0，x∈(0,1)，即a≥2x，x∈(0,1)．∵上式恒成立，∴a≥2.②由①②得a＝2.∴f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x－2x.(2)证明：由(1)可知，方程f(x)＝g(x)＋2，即x2－2lnx－x＋2x－2＝0.设h(x)＝x2－2lnx－x＋2x－2，则h′(x)＝2x－2x－1＋1x，当h′(x)＝0时，(x－1)(2xx＋2x＋x＋2)＝0，解得x＝1.令h′(x)0，并由x0，解得x1.令h′(x)0，由x0，解得0x1.列表分析：x(0,1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋h(x)↘极小值↗可知h(x)在x＝1处有一个最小值0，当x0且x≠1时，h(x)0，∴h(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个解．即当x0时，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．点评：研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断方程根的情况,这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题,主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力.函数、导数与不等式设g(x)＝ex，f(x)＝g[λx＋(1－λ)a]－λg(x)，其中a，λ是常数，且0λ1.(1)求函数f(x)的极值；(2)证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式ex－1x－1a成立；(3)设λ1，λ2∈R＋，且λ1＋λ2＝1，证明：对任意正数a1，a2都有：aλ11aλ22≤λ1a1＋λ2a2.【解】(1)∵f′(x)＝λg′[λx＋(1－λ)a]－λg′(x)，由f′(x)0得，g′[λx＋(1－λ)a]g′(x)，又g′(x)＝ex为增函数．∴λx＋(1－λ)ax，即(1－λ)(x－a)0，解得xa,故当xa时，f′(x)0；当xa时，f′(x)0；∴当x＝a时，f(x)取极大值，但f(x)没有极小值．极大值为(1－λ)ea.(2)证明：∵ex－1x－1＝ex－x－1x，又当x0时，令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－10，故h(x)h(0)＝0，因此原不等式化为ex－x－1xa，即ex－(1＋a)x－10，令G(x)＝ex－(1＋a)x－1，则G′(x)＝ex－(1＋a)，由G′(x)＝0得：ex＝1＋a，解得x＝ln(1＋a)，当0xln(1＋a)时，G′(x)0；当xln(1＋a)时，G′(x)0.故当x＝ln(1＋a)时，G(x)取最小值G[ln(1＋a)]＝a－(1＋a)ln(1＋a)，令s(a)＝a1＋a－ln(1＋a)，a0，则s′(a)＝11＋a2－11＋a＝－a1＋a20.故s(a)s(0)＝0，即G[ln(1＋a)]＝a－(1＋a)ln(1＋a)0.因此，存在正数x＝ln(1＋a)，使原不等式成立．(3)证明：对任意正数a1，a2，存在实数x1，x2使a1＝ex1，a2＝ex2，则aλ11aλ22＝eλ1x1·eλ2x2＝eλ1x1＋λ2x2，λ1a1＋λ2a2＝λ1ex1＋λ2ex2，原不等式aλ11aλ22≤λ1a1＋λ2a2⇔eλ1x1＋λ2x2≤λ1ex1＋λ2ex2，⇔g(λ1x1＋λ2x2)≤λ1g(x1)＋λ2g(x2)，由(1)知f(x)≤(1－λ)g(a)恒成立，故g[λx＋(1－λ)a]≤λg(x)＋(1－λ)g(a)，取x＝x1，a＝x2，λ＝λ1,1－λ＝λ2，即得g(λ1x1＋λ2x2)≤λ1g(x1)＋λ2g(x2)，即eλ1x1＋λ2x2≤λ1ex1＋λ2ex2，故所证不等式成立．点评：利用导数证明不等式，主要是根据题意构建函数，然后求导，讨论函数的单调性和最值，通过函数最值得出不等式成立．