正方形与45°角习题知识讲解

精品文档精品文档例：已知如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°求证：BE+DF=EF例：已知如图，正方形ABCD中，BE+DF=EF求证：∠EAF=45°CDABEFCDABEF精品文档精品文档HGFEBCADHGFEBCAD例：（2006海淀毕业试题）已知如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°AE、AF分别与对角线BD交于G、H求证：222GHDHBG例：已知如图，正方形ABCD中，,AE、AF分别与对角线BD交于G、H,且222GHDHAG求证：∠EAF=45°精品文档精品文档DECABFG例.如图:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,E、F分别在边BC、AC上，E为BC中点，F为AC的三等分点，AE、BF交于点D，求∠EDB的度数.例：（全国初中数学联赛试题）已知如图，正方形ABCD被与两条边AB、BC分别平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，若矩形PFCH的面积恰好等于矩形AGPE的面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并加以证明。PCDABFHEG精品文档精品文档BDACNMBDACMNBDACMN例（2009东城期末23题）已知：正方形ABCD中，45MAN，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC，（或它们的延长线）于点MN，．当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN．（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图2），线段BMDN，和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN，和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．图1图2图3例（2011西城期末24题）已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN，连结MC，NC，MN．（1）填空：与△ABM相似的三角形是△，BMDN=；（用含a的代数式表示）（2）求MCN的度数；（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．精品文档精品文档例例（2010海淀二模24题）.如图，已知平面直角坐标系xOy中的点(0,1),(1,0)AB，M、N为线段AB上两动点，过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点N作y轴的平行线交x轴于点F，交直线EM于点(,)Pxy，且NFBAEMMPNSSS.（1）AOBSEOFPS矩形（填“”、“=”、“”），y与x的函数关系是（不要求写自变量的取值范围）；（2）当22x时，求MON的度数；（3）证明:MON的度数为定值.yxxyyxAAFPEMAOOOBNBB（备用图）（备用图精品文档精品文档FBENMABCDPGQPFEBCAD例.（2011东城一模22题）如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.（1）请你帮小萍求出x的值.(2)参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）图1图2例：（2010石景山一模24题）．已知：如图，正方形ABCD中，,ACBD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转°（045），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交,BCCD于点E、点F，联结,EFEQ．（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．例.如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，把一个锐角为60°的三角板锐角顶点固定在点A，旋转这个三角板，与精品文档精品文档FEDACBGFEDACBGFEDACBBC、CD交于E、F，与BD交于M、N，∠EAF=60°.⑴求证：DE+BF=AB⑵若DM=8，BN=5，求证：MN=7⑶是否存在某个时刻，线段MN是线段DM和线段BN的比例中项？如果有，请说明是在什么情况下；如果没有，请说明理由.例（2011北京市中考24题）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图1中证明CECF；（2）若90ABC，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若120ABC，FG∥CE，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。例（2011海淀期末24题）已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC交线段AE于F.精品文档精品文档（1）如图1，若AE=AD，ADC=60,请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;（2）如图2,若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立,若成立,对你的结论加以证明,若不成立,请说明理由；（3）如图3,若AEAD=ab，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.解:（1）线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系为:.（2）图1图2例（2012海淀期末25题）如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，2DE，1AB．将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．图1图2图3解答问题：（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得AMDM的值为；②在平移过程中，AMDM的值为（用含k的代数式表示）；（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算AMDM的值；（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，0≤90，原题中的其他条件保持不变.计算AMDM的值（用含k的代数式表示）．例（2012西城期末25题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线212yxbxc与x轴DAFCEBABECDF精品文档精品文档交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB.直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF.（1）若点F的坐标为（92，1），AF=17.①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；（2）若22bc，2bt，且AB的长为kt，其中0t.如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值.