三次函数的三大性质初探

1三次函数的三大性质初探随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数)0()(23adcxbxaxxf,(1)若032acb，则)(xf在),(上为增函数；(2)若032acb，则)(xf在),(1x和),(2x上为增函数，)(xf在),(21xx上为减函数，其中aacbbxaacbbx33,332221.证明cbxaxxf23)('2,△=)3(412422acbacb，(1)当0即032acb时，0)('xf在R上恒成立，即)(xf在),(为增函数.(2)当0即032acb时，解方程0)('xf，得aacbbxaacbbx33,3322210)('xf1xx或2xx)(xf在),(1x和),(2x上为增函数.0)('xf21xxx)(xf在),(21xx上为减函数.由上易知以下结论:三次函数)0()(23adcxbxaxxf,(1)若032acb，则)(xf在R上无极值；(2)若032acb，则)(xf在R上有两个极值；且)(xf在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值.22根的性质三次函数)0()(23adcxbxaxxf(1)若032acb，则0)(xf恰有一个实根；(2)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf恰有一个实根；(3)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有两个不相等的实根；(4)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有三个不相等的实根.证明(1)(2)0)(xf含有一个实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴只相交一次，即)(xf在R上为单调函数或两极值同号，所以032acb或032acb，且0)()(21xfxf.(3)0)(xf有两个相异实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032acb，且0)()(21xfxf.(4)0)(xf有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴有三个公共点，即)(xf有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032acb且0)()(21xfxf.由上易得以下结论：三次函数)0()(23adcxbxaxxf在),[m上恒正的充要条件是0)(mf(m≥x2),或0)(mf且0)(2xf(mx2).3对称性三次函数)0()(23adcxbxaxxf的图象关于点))3(,3(abfab对称，并且)('xf在abx3处取得最小值，其图象关于直线abx3对称.3证1)3()3)(3()3()(2323abfabxabcabxadcxbxaxxf易知xabcaxxg)3()(23是奇函数，图象关于原点对称，则)(xf关于点))3(,3(abfab对称.cbxaxxf23)('2，0a当abx3时，)('xf取得最小值，显然)('xfy图象关于abx3对称.证2设)(xfy的图象关于点),(nm对称，任取)(xfy图象上点),(yxA，则A关于),(nm的对称点)2,2('ynxmA也在)(xfy图象上dxmcxmbxmayn)2()2()2(223,)2248()412()6(23223mdmcbmamxcmbamxbmaaxy)3(3)2248(4126232abfnabmndmbbmamdcmbamcbmab由上又可得以下结论：)(xfy是可导函数，若)(xfy的图象关于点),(nm对称，则)('xfy图象关于直线mx对称.证明)(xfy的图象关于),(nm对称，则,2)2()(nxmfxfxxfxxfxfx)()(lim)('0xxfnxxfnxxmfxxmfxmfxx)(2)(2lim)2()2(lim)2('00)(')()(lim0xfxxxfxfx4)('xfy图象关于直线mx对称.若)(xfy图象关于直线mx对称，则)('xfy图象关于点)0,(m对称.证明)(xfy图象关于直线mx对称，则)2()(xmfxf，　　xxmfxxmfxmfxxfxxfxfxx)2()2(lim)2(')()(lim)('00)(')()(lim0xfxxfxxfx，0)(')2('xfxmf，)('xfy图象关于点)0,(m对称.掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.