_鸽巢问题_教学实录与评析_张慧

小学数学教育2015.4教学频道JIAOXUEPINDAO教学内容：人教版《义务教育教科书·数学》六年级下册第68～69页例1、例2。教学目标：1.经历“鸽巢问题”的探究过程，会判断谁是“鸽巢”、谁是“鸽子”，会利用本节课知识解决简单的实际问题。2.引导学生通过实际操作的方法，利用枚举法和假设法探究“鸽巢问题”。3.通过介绍狄利克雷和让学生自己发现“鸽巢问题”的一般模式来感受数学的魅力，理解解决这类问题的一般方法。教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”的原理，并能解决生活中的简单问题。教学难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单的实际问题加以“模型化”。教学准备：课件、扑克牌、每个小组3个杯子和4支铅笔。课前交流：师：同学们，认识大屏幕上的这个人吗？（课件出示）生：柯南……（有些学生比较激动）师：对，他就是名侦探柯南。同学们，你们想变得和柯南一样聪明吗？生：想。师：想变得和柯南一样的聪明，就需要我们好好学习，用知识来武装自己，充实自己。其实老师也很崇拜柯南，所以在平时也经常研究一些推理知识。今天，老师就给大家带来一个推理游戏。想玩吗？生：想。师：好，现在老师有一副扑克牌（出示扑克牌），有多少张呢？生：54张。师：（拿掉大小王）现在有多少张呢？生：52张。师：知道扑克牌有几种颜色吗？生：2种，红色和黑色。师：知道扑克牌有几种花色吗？生：4种。师：现在我就用这52张扑克牌来做一个推理游戏，老师需要5位同学当助手，谁愿意？学生争先恐后，师请上5位同学。师：请你们5位任意抽取一张牌，不要让我看到哟，自己看好牌记在心里，记住了吗？把牌收好了。师：同学们，下面就是老师展示自己推理能力的时刻了。我敢肯定的说在你们这5张牌里，至少有2张是同一花色的，信吗？学生们先是考虑，然后有人点头，有人疑惑。师：把牌拿出来验证一下，同一花色的站到一起，把牌举起来面向大家。我猜对了吗？生表示赞同。师：如果让这5位同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你们相信吗？学生有的说信，有的好像想说些什么但又不知道该怎么描述。师：先不要着急下结论，等上完这节课再来解释其中的道理，好不好？生：好。师：上课。【评析】学生在生活中已积累了有关这类问题的感性经验，教学从学生熟悉和喜爱的游戏引入，可以激活学生的生活经验，让学生利用已有的经验初步感知抽象的“鸽巢问题”，将数学经验与现实生活经验紧密联系，提高学生的学习兴趣。教学过程：一、动手操作，感知模型师：知道老师为什么能作出如此准确的判断吗？这其中蕴涵着一个非常有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个数学原理。1.动手操作。师：在同学们课桌上都有3个杯子，杯子里有4支铅笔。同桌两人每人每只手拿一支铅笔，然后放到桌子上的任意一个杯子中。学生操作，很快将铅笔放入杯子。2.小组汇报。师：你们分别是怎么放的呢？生1：我们小组是一个杯子里放2支铅笔，另外两个杯子里各放1支铅笔。师板书：（2，1，1）生2：我们小组是一个杯子里放4支铅笔，另外两个杯子里是空的。师板书：（4，0，0）其他同学表示赞同。师：其他组还有不同的表示方法吗？生3：还可以是一个杯子里放3支铅笔，一个杯子里放1支铅笔，另外一个杯子是空的。师板书：（3，1，0）生4：还可以是两个杯子里各放2支铅笔，剩下一个是空的。师板书：（2，2，0）师：还有其他放法吗？生：没有啦！师：像刚才这样我们把所有情况都一一列举出来，从而得出结论的方法，在数学中叫枚举法。观察这四种方法，它们有什么共同点吗？生1：3个杯子里的铅笔加起来都是4支。生2：有的杯子里有笔，有的是空的。生3：每一种方法中，总有一个杯子里至少有2支铅笔。（教师给学生考虑的时间）师：她的发现对吗？生：对。师：这位同学用到了一个词“至少”（板书），“至少”是什么意思？生：最少。师：能对照这四种方法来解释一下这句话吗？张慧执教（山西省介休市义安镇第三小学）张巧英评析（山西省介休市教育局教研室）37小学数学教育2015.4教学频道JIAOXUEPINDAO生4：我觉得她这个结论有问题，你看第一种方法（4，0，0），有一个杯子里有4支铅笔。生3：我说的是至少2支，4支不也是至少2支吗？生4表示赞同。生5：第三种方法（2，2，1）就不符合刚才的结论，有2个杯子里都是2支铅笔。生3：“总有一个”意思就是存在1个就行，可以存在2个或多个。生5点头同意。师：其他同学听明白了吗？生：明白了。师：刚才这位同学说的太棒了，叫什么名字呢？生3：毛汝洁。师：同学们把掌声送给毛汝洁同学。师生齐鼓掌。师：如果每个杯子里不允许放入2支或2支以上的铅笔，你能办到吗？学生动手后发现办不到。师：说说你的想法。生1：先往每个杯子里放1支铅笔，这样还剩下1支，剩下的这1支还要放入杯子里，但是不管放入哪个杯子，都会出现一个杯子中有2支铅笔，所以办不到。（请学生在讲台上演示）生2：我也是这么想的，这其实就是先将4支铅笔平均分，余下的1支放入其中任意一个杯子。师：既然是平均分，能用算式表示吗？生说算式，师板书。师：商1和余数1意义相同吗？生：商1指的是每个杯子里放进去的1支，余数1指剩下的那支。师：在解决这类问题时，用平均分的方法比较简便。【评析】先让学生观察、猜想，然后自己想办法“证明”自己的猜想。这样设计，给学生自主思考的时间和空间。在小组合作的基础上，再独立思考。把动脑思考与动手操作有机结合，把独立思考与小组合作有机结合，有利于学生动手实践能力的提高。二、逐步深入，建立模型1.初建模型。师：如果把5支铅笔放入4个杯子，会是什么结果呢？有的学生接着举起了手，有的学生在和同桌交流，个别学生在操作。生：还是那个结论。师：能把结论说完整吗？生：总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：你是怎么想的？生：先把每个杯子里放1支，还剩1支，再把剩下的1支放入其中任意一个杯子。师：能用算式表示吗？生：5÷4=1……1。师板书算式。师：如果把10支铅笔放入9个杯子呢？生1：还是总有一个杯子里至少有2支铅笔。生2：都是总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：你有什么发现？生：当铅笔的数量比杯子的数量多1时，总有一个杯子里至少有2支铅笔。2.完善模型。师：如果铅笔的数量不是比杯子的数量多1呢？这个结论还成立吗？师：把5支铅笔放入3个杯子，总有一个杯子里有几支铅笔？可以和小组里的同学交流一下。师：谁想说说你们的结论？生1：总有一个杯子里至少有3支铅笔。生2：总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：说说你们的想法。（先让得出“总有一个杯子里至少有3支铅笔”的学生说）生1：把5支铅笔放入3个杯子，先在每个杯子放1支，还剩2支，把这2支放入一个杯子。生2：你这样就不能保证至少了。我是这样想的，把5支铅笔放入3个杯子，先每个杯子放1支，还剩2支，把这2支再平均分后放入不同的杯子，于是得出了总有一个杯子里至少有2支铅笔的结论。（一边说一边演示）【评析】尊重学生个性化的思考，尊重学生的差异，给学生充分展示交流的空间，教师针对学生的思考作出及时的鼓励和引导，充分发挥教师作为课堂教学的组织者、引导者的作用。师：可以用算式表示吗？生：可以，5÷3=1……2。师板书算式。师：把7支铅笔放入4个杯子，你能得出什么结论？生：总有一个杯子里至少有2支铅笔。师：可以怎样列算式表示呢？生：7÷4=1……3。师：观察黑板上这些算式？你有什么发现？生1：商都是1。生2：都有余数。生3：铅笔都比杯子多。生4：不管余数是几，都是总有一个杯子里至少有2支铅笔。（师板书）三、深入研究，验证模型师：刚才同学们都表现得非常棒，老师如果再增加铅笔数，你想想总有一个杯子中至少放几支铅笔呢？课件出示：把5支铅笔放进2个笔筒里；把15支铅笔放进4个笔筒里；把m支铅笔放进n个笔筒里。不管怎么放，总有一个杯子里至少有（）支铅笔？生小组合作完成，师巡视指导。师：哪个小组愿意展示一下？小组展示交流。师：你们的结果和他们组一样吗？说说你们组有什么发现？生：总有一个杯子里至少有“商+1”支铅笔。师：你们的发现和他们相同吗？生：相同。（师板书：商+1）【评析】在学生自主探索的基础上，教师进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“鸽巢问题”的基本模型。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。师：同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学问题，也是我们今天研究的“鸽巢问题”（板书课题）。一起看大屏幕（介绍“鸽巢问题”的相关知识）：最先发现这一规律的人是德国数学家狄利克雷，人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄利克雷原理”，又把它叫做“鸽巢问题”或“抽屉原理”。师：第一个发现这个规律就用他的名38小学数学教育2015.4教学频道JIAOXUEPINDAO字命名了，我们班也有第一个发现这个规律的——生：毛汝洁。师：她在我们班中第一个发现了这个规律，在我们班中把这条规律就命名为“毛汝洁原理”行不行？（师板书：毛汝洁原理）学生向毛汝洁投去敬佩的目光。师：鸽巢问题的道理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。运用它时，关键是要找出谁是“鸽巢”，谁是“鸽子”。像刚才的问题中，谁相当于“鸽巢”？谁相当于“鸽子”？生：杯子相当于“鸽巢”，铅笔相当于“鸽子”。师：现在，你能利用这节课所学的内容揭秘课前的推理小游戏中包含的数学道理了吗？生：5张牌相当于“鸽子”，4种花色相当于“鸽巢”，5张牌中至少有2张是同一花色的。【评析】介绍“鸽巢问题”的由来，以增加数学文化的气息。以学生的名字为“鸽巢问题”命名，能激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性，同时培养学生学习数学家观察生活的态度、研究问题的方法。四、利用模型，解决问题师：“鸽巢问题”的原理不仅在数学中有用，在现实生活中也随处可见。就在上课前我们做游戏用的这副扑克牌中就有许多“毛汝洁原理”。师：（取出3张牌）这3张牌中就存在“鸽巢问题”。生：至少有2张牌的颜色是相同的。把牌展示给学生看，验证。师：如果取出5张牌呢？（取出5张）生：至少有2张牌的花色是相同的。把牌展示给学生看，验证。师：如果取出14张牌呢？（取出14张）（及时表扬学生认真观察老师的动作）生：至少有2张牌的数字是相同的。把牌展示给学生看，验证。师：扑克牌中有这么多的“鸽巢问题”，在我们班同学身上也能找到很多的“鸽巢问题”。（课件出示）13个人中的出生月份存在什么样的“鸽巢问题”？谁是“鸽巢”？谁是“鸽子”呢？生：至少有2个人出生在同一个月。12个月是“鸽巢”，13个同学是“鸽子”。师：那全班同学至少有多少人出生在同一个月呢？生：全班有53人……至少有5个人出生在同一个月。情境展示柯南机智识破骗局的故事：生：因为手机号是11位，是由0、1、2、3、……、9这10个数字组成的，这10个数字相当于“鸽巢”，11位手机号相当于“鸽子”，“鸽子”比“鸽巢”多1，一定至少有一个数字是重复的，所以柯南可以判断出那个人是骗子。师：（小结）这节课我们认识了“鸽巢问题”，其实在生活中还有许多的类似于“鸽巢问题”这样的知识等待我们去发现、去发掘，老师希望通过你的努力学习，在不久的将来能有一条真正属于你自己的“毛汝洁原理”！【评析】“鸽巢问题”的应用范围很广，更具灵活性。情境展示中学生需要经历将具体问题“数学化”，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在运用新知灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，提高数学学习的兴趣。板书设计：【总评】本节课不同于六年级其他课，与前后知识点没有联系，比较孤立。“鸽巢问题”很抽象，对于师生而言，这节课比较难上。张老师通过有趣的游戏，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”的原理，使学生在理解的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”并会用所学知识加以解决，积累了数学活动经验。本节课较好地体现了以下几点：1.课前游戏激发了学生的学习兴趣。游戏导入，激发了学生的学习兴趣，“知道老师为什么能作出如此准确的判断吗？这其中蕴涵着