保险精算习题及答案

1第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2atatb=+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。(0)1(5)251.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180abaababaaab===+=⇒===⇒=+=∵2．(1)假设A(t)=100+10t,试确定135,,iii。135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)AAAAAAiiiAAA−−−======(2)假设()()1001.1nAn=×，试确定135,,iii。135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)AAAAAAiiiAAA−−−======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97aiiaiaiiai=+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为110%i=，第2年的利率为28%i=，第3年的利率为36%i=，求该笔投资的原始金额。123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1AAiiiA==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。2(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814iaia=+=⎛⎞⎜⎟=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠6．设m＞1，按从大到小的次序排列()()mmddiiδ。7．如果0.01ttδ=，求10000元在第12年年末的积累值。、1200.7210000(12)100001000020544.33tdtaeeδ∫===8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。(4)(2)414212(1)(1)(1)(1)(1)421.1*1.086956522*1.061363551*1.0506251.3332658580.74556336iiiidi−+=+−++==⇒=9．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度6ttδ=积累，在时刻t(t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。()()2021211221212()1.01()1.01,1.432847643ttttdtttatateeetδ=∫==⇒==10.基金X中的投资以利息强度0.010.1ttδ=+(0≤t≤20),基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。()()()20210.010.1220.01*200.1*2020423()1()111.8221tttttdtatiateeieeiδ++=+∫==⇒+==+=11.某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（）万元。A.7.19B.4.04C.3.31D.5.21(3)3*5153(1)3*1.024.03763i+==12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余3本金部分为（）元。A.7225B.7213C.7136D.6987(2)2*24(1)1.031.12552i+==第二章：年金练习题1．证明()nmmnvviaa−=−。()11()mnnmmnvviaaivvii−−−=−=−2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7%。计算购房首期付款额A。12012011000100079962.96(8.7%/12)16000079962.9680037.04vaii−===∴−=3.已知75.153a=,117.036a=,189.180a=,计算i。718711110.08299aaaii⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠∴=4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。10101015000112968.7123axaix⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠∴=̇̇̇̇5．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知1012v=，计算K。10201010102010101110002000100011111800AaaaiiBKaKaiABK⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠=∴=6．化简()1020101avv++，并解释该式意义。()102010301avva++=47.某人计划在第5年年末从银行取出17000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。51055111000200017000113.355%aaiii⎛⎞⎛⎞+=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⇒=8.某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为18k+，计算V(2)。112119111(2)11(1)(1)(1)(1)9991101128Viiiii=+++++++++=+++⋯⋯⋯9.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=()A.113n⎛⎞⎜⎟⎝⎠B.13nC.13n⎛⎞⎜⎟⎝⎠D.3n1211213nnnnnavavviiv∞=−==11.延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为()21t+,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（）A.52B.54C.56D.5801125|651125|65()(1)111()()11(1)541ttdtavttdtvtatteatdttδ=+===+∫⇒=+=+∫∫第三章：生命表基础练习题1．给出生存函数()22500xsxe−=，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。(3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。5()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)PXssssqsPXssps=−−===2.已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求60q。()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)sssqpssssqs−====−∴==3.已知800.07q=，803129d=，求81l。8080818080800.07dllqll−===4.设某群体的初始人数为3000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。120121122000(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909ddddddssslll++++++======⋯⋯⋯5.如果221100xxxµ=++−,0≤x≤100,求0l=10000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为（）。A.2073.92B.2081.61C.2356.74D.2107.560022211000100()1((1)(4))2081.61xxxdxdxxxxsxeexlssµ−+−+−−⎛⎞∫∫===⎜⎟+⎝⎠−=6.已知20岁的生存人数为1000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|201q为（）。A.0.008B.0.007C.0.006D.0.00522211|20200.006llql−==第四章：人寿保险的精算现值练习题61.设生存函数为()1100xsx=−(0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1元)：(1)趸缴纯保费130:10Ā的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。1010130:10001010211222230:1030:1000()1()1100()100110.0921.17011()()0.0920.0920.0551.2170txxttttxxttttxxtxsxtsxpsxxAvpdtdtVarZAAvpdtdtµµµ+++′+=−⇒=−=−⎛⎞===⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−=−=−=⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫iii2．设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算：(1)该保单的趸缴纯保费。(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。(3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？（1）法一：4113536373839234535:503511000()1.061.061.061.061.06kkxxkkdddddAvpql++===++++∑查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549lddddd======代入计算：4113536373839234535:503511000()5.7471.061.061.061.061.06kkxxkkdddddAvpql++===++++=∑法二：1354035:53510001000MMAD−=查换算表1354035:53513590.2212857.611000100010005.747127469.03MMAD−−===i（2）1353535:1351363636:1361373737:1371383838:138143.5810001000100010001.126127469.03144.4710001000100010001.203120110.22145.9410001000100010001.29113167.06100010001000100CpADCpADCpADCpAD===============iii1393939:1393536373839148.0501.389106615.43150.5510001000100010001.499100432.541000()6.457CpADppppp=====++++=ii7（3）1112131413523533543535:535:136:137:138:139:11353637383935:5AAvpAvpAvpAvpAAppppp=++++∴++++iii3.设0.25x=A,200.40x+=A,:200.55x=A,试计算：（1）1:20xA。（2）1:10xA。改为求1:20xA1120:20:2011:20:20:2011:20:2011:20:201:201:200.250.40.550.050.5xxxxxxxxxxxxxAAAAAAAAAAAAA+⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎧=+⎪⇒⎨=+⎪⎩⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ii4．试证在UDD假设条件下：(1)1