数学核心素养“数学抽象”的认识及思考

对数学核心素养“数学抽象”的认识及思考本次课标修订（2017年版）是对2014年版的继承和发展，在2014年版课标基础上，凝练提出了本学科的6个核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。如何理解和认识这6个核心素养，结合昨天鲍教授和章建跃主编提出的要有具体样例支撑、要注意数学学科核心素养与具体教学内容的关联的思想（显性化），以核心素养“数学抽象”为例，谈一点我个人的粗浅认识。数学抽象（内涵、价值、表现、水平）数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。水平素养数学抽象水平一能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题，能够模仿学过的数学方法解决简单问题。能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论，能够在熟悉的情境中抽象出数学问题。能够了解用数学语言表达的推理和论证；能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想。在交流的过程中，结合实际情境解释相关的抽象概念。水平二能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题。能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则；理解数学命题的条件与结论；能够理解和构建相关数学知识之间的联系。能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想。在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象。水平三能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达；能够在得到的数学结论基础上形成新命题；能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题。能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构，能够理解数学结论的一般性，能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系。在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达；能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想。在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象。一、获得数学的概念、或深化概念1、函数概念（变量说、对应说），扩大认知边界（），深化对函数的理解和认知；2、三角函数（初中直角三角形、高中单位圆），突出函数周期性的本质；3、单调性（定义，1y1212()[()()]0xxfxfx1212()()0fxfxxx()0fx）二、抽象结构关系获得结论例如，三角形面积12Sah（其中a是底，h是高），扇形的面积12Slr（其中l是弧长，r是半径），其中，三角形的底a和高h是垂直关系，扇形的弧l和半径r也具有“垂直”关系。若将扇形的弧l和半径r类比地看成三角形的“底”和“高”，则两者结论是一致的。也就是说，数学对象变化而关系相似，则结论具有统一性。进而，我们可以利用数学知识的这种联系的特征，把圆看成“完善”的扇形，推知圆的面积是211(2)22Scrrrr（其中c是圆的周长，r是圆的半径）。从结构抽象意义上讲，三角形、扇形和圆是同一类知识，是可以放在一起加以认知的，并且还可以提高我们的认知水平。所以，利用数学知识的这种内在联系特征，可以将高中数学知识进行归类和“浓缩”，减轻知识负担，提高学习效率。数学对象不断变化而关系（结构）在抽象意义上基本不变，结论具有统一性（一般性）。迁移（具体知识不好迁移，但抽象后）：例2，球体与圆锥是同类知识（抽象结构意义）23114(4)333VSrrrr球体求表面积虽然不严谨，需要严格证明；但他提供探究的方向、研究的思路；也可能在未知的领域有创新性的发现。对象和关系的不断抽象，而结论具有概括性或一致性，使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。三、形成数学方法、思想、模型例如，中点坐标公式（简单、以简驭繁、大概念、统摄性）1、函数图像的对称性（核心是中点的坐标公式）：①若函数()yfx满足()(2)fxfx，则函数()yfx图像关于01x对称；②若函数()yfx满足()(2)fxfx,则函数()yfx图像关于(1,0)对称；③若函数()yfx满足()()faxfbx，则函数()yfx图像关于02abx对称；④若函数()yfx满足()()faxfbx,则函数()yfx图像关于(,0)2ab对称；⑤若函数()yfx满足()()faxmfbxn,则函数()yfx图像关于(,)22abmn对称；(,())axfax，(,())bxfbx，0()()22axbxabx，0()()22faxfbxmny。2、梯形中位线（几何对应代数）3、圆台中截面+2SSS上底面下底面中截面除去具体属性，数学的本质更清楚、更简单；数学内在要求也是以简驭繁、以少驭多、以“不变”应“万变”、举一反三，形成观念、思想、模式或结构。（最后剩下典型的思想方法。“少则得，多则惑”，若满脑子都是知识，这样的学生可能学不好数学）。四、数学抽象也是方法论，指导数学学习我们高三数学复习备考的基本观点是：1、复习内容要集约化——呈现共性。按照同类为伍，近类为邻的原则,用抽象的观念合并同类项，突出主干知识，聚焦核心概念，以主干知识带动全面复习，形成一、二、三轮复习由面到线、由线到点的“面—线—点”“瘦身”复习策略。2、复习方式要聚焦“类”教学，发掘“支撑思想”——通性通法和典型方法——举一反三、触类旁通，实现能力迁移。谢谢大家！