2020学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020高二数学阶段检测1上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，且10100S，则7a的值为A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.【详解】∵等差数列na的公差为2，且10100S，∴1011091021002Sa∴11a∴7171213a.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.2．等比数列的前项和为，已知，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列na的前n项和为nS，若112,0,3mmmSSS，则m()A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】由0mS112mmmaaSS又113mmmaSS，可得公差11mmdaa，从而可得结果.【详解】na是等差数列102msmmaaS2020高二数学阶段检测2112mmmaaSS又113mmmaSS，∴公差11mmdaa，11325maammm，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4．设02，若11sin,(sin)(1,2,3,)nxnxxn，则数列{}nx是（）A．递增数列B．递减数列C．奇数项递增，偶数项递减的数列D．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin1a，进而可得函数(sin)xya为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。【详解】根据题意，02，则0sin1a，指数函数(sin)xya为减函数1sin0(sin)(sin)(sin)1aaaa即110(sin)1xxa2110(sin)(sin)(sin)(sin)1,xxaaaa即13201xxx32110(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)1,xxxaaaaa即134201xxxx324110(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)(sin)1,xxxxaaaaaa即1354201,,xxxxx1357864201xxxxxxxx，数列{}nx是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C.【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。2020高二数学阶段检测3二、填空题5．1lim1nn__________.【答案】1【解析】由1lim=0xn即可求得【详解】11lim(1=lim1lim=1-0=1xxxnn）【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。6．等差数列{}na中，若13,21,2naad，则n___________.【答案】10.【解析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解n的值．【详解】在等差数列{}na中，由13a，21na，2d，且1(1)naand，所以1213192naand，所以10n．故答案为：10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求n．7．数列{}na中，已知*41322,nnnanN•，50为第________项.【答案】4【解析】方程变为4132-48=0nn•，设2nx，解关于x的二次方程可求得。【详解】*41322,nnnanN•，则5041322nn•，即4132-48=0nn•设2nx，则213480xx，有16x或3x取16x得216n，4n，所以是第4项。【点睛】发现242nn（），原方程可通过换元，变为关于x的一个二次方程。对于指数结构242nn（），293nn（），2255nn（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。2020高二数学阶段检测48．{}na为等比数列，若1234126,52aaaaa，则na_______.【答案】123n•【解析】将1234126,52aaaaa这两式中的量全部用1,aq表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。【详解】12326aaa相当于211=26aqq（），4152aa相当于3211-1=(1)(1)52aqaqqq（），上面两式相除得12,q3q代入就得12a，123nna【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。9．用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()nnnnnnnN时，从“nk到1nk”，左边需增乘的代数式是___________.【答案】2(21)k.【解析】从nk到1nk时左边需增乘的代数式是(1)(11)1kkkkk，化简即可得出．【详解】假设nk时命题成立，则(1)(2)(3)()2135(21)kkkkkkk，当1nk时，1(2)(3)(11)2135(21)kkkkkk从nk到1nk时左边需增乘的代数式是(1)(11)2(21)1kkkkkk．故答案为：2(21)k.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．数列{}na满足1211,3,(2)(1,2,)nnaaanan，则3a等于__________.【答案】15.【解析】先由11a，23a，结合1(2)nnana，求出，然后再求出3a．【详解】2020高二数学阶段检测511a，23a，1(2)nnana，223a，1．3(4)315a．故答案为：15.【点睛】本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力．11．数列{}nx满足*1112,2,,,nnnxxxnnNxaxb，则2019x_________.【答案】ba.【解析】根据数列递推关系，列出前面几项，发现数列{}nx是以6为周期的周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出2019x的值．【详解】由题干中递推公式，可得：1xa，2xb，321xxxba，432xxxbaba，543()xxxabab，654()xxxbaab，765()xxxabba，876()xxxaabb，987xxxba，数列{}nx是以6为最小正周期的周期数列．201963363，20193xxba．故答案为：ba.【点睛】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解2020高二数学阶段检测6能力．12．数列{}na满足下列条件：11a，且对于任意正整数n，恒有2nnaan，则512a______.【答案】512【解析】直接由2nnaan，可得88785122562561281282562=128222aaaaa，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。【详解】2nnaan5122568256812878128128192562=128222122212112512aaaaaa故选C。【点睛】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。13．数列{}na定义为11cos,sincos,1nnaaann，则21nS_______.【答案】2sin(1)cosnnn【解析】由已知得两式112sincos,+1sincosnnnnaanaan（），，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前21n+的和【详解】112sincos,+1sincosnnnnaanaan（），两式相减得2sn,-innaa2020高二数学阶段检测7数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，12sincosaa，，21sincossincoscossinaa21cos(1)sinnan，2sin(1)sinsinnann，数列的前2n项中所有奇数项的和为：(1cos+sin2nnn），数列的前2n项中所有偶数项的和为：sin+sin+sin22nnnn（）（1）2121(1+sincos+sin22(1+sincos+sincos+sin22(1)cos(1)sinnnnnnnSnannnnnnnnn）（1））（1）【点睛】对于递推式为2-nnada，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为2a，而奇数项的首项为1a.14．已知数列{}na是正项数列，nS是数列{}na的前n项和，且满足112nnnSaa.若11nnnnabSS，nT是数列{}nb的前n项和，则99T_______.【答案】910【解析】利用1nnnaSS将112nnnSaa变为11112)2nnnnnSSSnSS（，整理发现数列{2nS}为等差数列，求出2nS，进一步可以求出na，再将na，nS代入nb，发现可以裂项求nb的前99项和。【详解】112nnnSaa2020高二数学阶段检测811112)2nnnnnSSSnSS（1112nnnnnSSSSS222211111(1)1)21(1(nnnnnnnnSSSSSSSSSnnnnn）当1n时，11S符合nSn，nnS11nnnaSSnn(2)n当1n时，11a符合1nann，1nann1111111nnnnannbSSnnnn991239911111111191110102233499100Tbbbb【点睛】一般公式1nnnaSS的使用是将1nnSS变为na，而本题是将na变为1nnSS，给后面的整理带来方便。先求nS，再求na，再求nb，一切都顺其自然。15．一个三角形的三条边成等比数列，那么，公比q的取值范围是__________.【答案】515122q【解析】【详解】设三边按递增顺序排列为2,,aaqaq，其中0,1aq.则2aaqaq，即210qq.解得151522q.由q≥1知q的取值范围是1≤q152.设三边按递减顺序排列为2,,aaqaq，其中0,01aq.则2aqaqa，即210qq.2020高二数学阶段检测9解得5112q.综上所述，151522q.16．数列{}na满足123451,2,3,4,5aaaaa，当5n时，1121nnaaaa•••，则是否存在不小于2的正整数m，使2221212mmaaaaaa••成立？若存在，则在横线处直接填写m的值；若不存在，就填写“不存在”_