极限习题及答案：数学归纳法

数列通项及用归纳法证明不等式例一、在1与2间插入n个正数naaaa,,,,321，使这n+2个数成等比数列；又在1、2间插入n个正数nbbbb,,,,321，使这n+2个数成等差数列．记.,21321nnnnbbbBaaaaA．求：（1）数列}{nA和}{nB的通项；（2）当7n时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例一、设数列}{na满足,,3,2,1,121nnaaannn（1）当21a时，求432,,aaa，并由此猜想出na的一个通项公式；（2）当31a时，证明对所有的1n，有（ⅰ）;2nan（ⅱ）.2111111121naaa数列与归纳法的综合题例一、设0a为常数，且)(2311Nnaannn（Ⅰ）证明对任意;2)1(]2)1(3[51,101aannnnnnn（Ⅱ）假设对任意1n有1nnaa，求0a的取值范围．判断证明过程的正误例试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：)13(21)23(741nnn证明：（1）当1n时，左边＝1，右边＝1∴当1n时命题成立．（2）假设当kn时命题成立，即)13(21)23(741kkk则当1kn时，需证))(23)(1(21]2)1(3[)23(741kkkk由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为1k的等差数列的前n项和，其和为)23)(1(21)131)(1(21kkkk∴)(式成立，即1kn时，命题成立．根据（1）（2）可知，对一切Nn，命题成立．用数学归纳法证明等式例用数学归纳法证明nnnnnn121112)12(1431211例用数学归纳法证明)N,2(tantantan)1tan(3tan2tan2tantannnnnnn利用归纳法证明整除问题例用数学归纳法证明：17)13(nn能被9整除．)N(n．猜想并证明数列的通项例对于数列}{na，若.1),10(1111nnaaaaaaaa且（1）求422,,aaa，并猜想}{na的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．答案1.分析：考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）2,,,,,,1321naaaa成等比数列，,221123121knknnnaaaaaaaa))(())()((121231212aaaaaaaaaaAnnnnnn.22,2)21(nnnnA2,,,,,,1321nbbbb成等差数列，,3211nbb.232)(1nnbbBnn所以数列}{nA的通项22nnA，数列}{nB的通项.23nBn（2）,49,2,23,22222nBAnBAnnnnnn要比较nA与nB的大小，只需比较22nnBA与的大小，也就是比较当7n时，n2与249n的大小．当n=7时，41110494949,12822nn，知.4922nn经验证，n=8,n=9时，均有2492nn成立，猜想，当7n时有,4922nn下面用数学归纳法证明：（ⅰ）n=7时已证2492nn（ⅱ）假设)7(kkn时不等式成立，即2492kk，好么].1)2()1[(49]12)1[(4949222222221kkkkkkkkk,)1(49]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722kkkkkkkkk故21)1(,492kk．即1kn时不等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）当7n时，2492nn成立，即.,22nnnnBABA说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．2.分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由21a得,311212aaa由,32a得,4122223aaa由43a，得.5133234aaa由此猜想na的一个通项公式：).1(1nnan（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：①当213,11an，不等式成立．②假设当n=k时不等式成立，即2kak，那么，,31)2)(2(1)(1kkkkkaaakkk也就是说，当1kn时，.2)1(1kak根据①和②，对于所有1n，有.2nan（ⅱ）由1)(1naaannn及（ⅰ），对2k，有,121)121(1)1(1111kkkkkakkakaak…….1)1(2122211211aaakkkk于是,2,21111111kaakknkkaaa111111111nkka2111121nkka111.213121221说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．3.分析：本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．证明：（Ⅰ）证法一：（1）当1n时，由已知0121aa，等式成立．（ⅱ）假设当)1(kkn等式成立，即].)1(2)1(3[5101aaakkkkkk那么.2)1(]2)1(3[52323111aaakkkkkkkkk].)1(2)1(3[510111akkkk也就是说，当1kn时，等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）可知证法二：如果设).3(2311nnnnaa用1123nnnaa代入，可解出.51a所以}53{nna是公比的－2，首项为531a的等比数列．).()2)(5321(5310Nnaannn即.2)1(52)1(302aannnnnn（Ⅱ）解法一：由na通项公式.23)1(523)1(32011111aaannnnnnn)(1Nnaann①（ⅰ）当,2,1,12kkn时，①式即为.)23()15()1(32022kka即为.51)23(51320ka②②式对,2,1k都成立，有.3151)23(5110a（ⅱ）当,2,1,2Kkn时，.)23()15()1(22012kka即为.51)23(51220ka③③式对,2,1k都成立，有.051)23(512120a综上，①式对任意Nn成立，有.3100a故0a的取值范围为)31,0(解法二：如果)(1Nnaann成立，特别取2,1n有.031001aaa.06012aaa因此.3100a下面证明当3100a时，对任意Nn，有.01nnaa由na通项公式,2,1,12)(51kkaann，时.02523222352332)(511101111nnnnnnnnaaa（2）当,2,1,2kkn时，.02332252332)(5111111nnnnnnnnaaa故0a的取值范围为).31,0(4.分析：看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确．关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的．解：以上用数学归纳法证明的过程是错误的．在证明当1kn时等式成立时，没有用到当kn时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求．第二步正确的证明方法是：假设当kn时命题成立，即),13(21)23(741kkk则当1kn时，)253(21)13()13(21]2)1(3[)23(7412kkkkkkk]1)1(3)[1(21)23)(1(21kkkk即当1kn时，命题成立．说明：用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可．尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的．5.分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当1kn时，等式两边的式子与kn时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．证明：（1）当1n时，左边21211，右边21，赞美式成立．（2）假设当kn时，等式成立，即.2121112)12(1431211kkkkk则当1kn时，)22)(12(12)12(1431211kkkk)22)(12(1212111kkkkk11221121213121kkkkkk221121213121kkkkk)1)(1(1)1(12)1(11)1(1kkkkkk即当1kn时，等式成立．根据（1）、（2）可知，对一切Nn，等式成立．说明：解题过程中容易将1kn时，等式右边错写为)1()1(12111kkkk，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随n的变化而变化．6.分析：在由假设kn时等式成立，推导当1kn时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：1)tan(tantantantan，问题就会迎刃而解．证明：（1）当2n时，左边222tan1tan2tan1tan2tan右边222tan1tan22tan)tan1(tan22tan2tan，等式成立．（2）假设当kn时，)N,2(kk等式成立，即kkkktantantan)1tan(3tan2tantan则当1kn时，)()1tan(tantantan)1tan(tantan)1tan(3tan2tan2tantankkkkkkkk由kkkkkktan)1tan(1tan)1tan(])1tan[(tan得1tantan)1tan()1tan(tankkkk代入)(式，得右边),1(tan)1tan(1tantan)1tan(tantankkkkkk即)1tan(tantan)1tan(3tan2tan2tantankkkk).1(tan)1tan(kk这就是说，当1kn时等式成立．根据（1）、（2）可知，对任意N,2nn，等式成立．说明：灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧，恰当的应用公式是关键．如果应用公式cossintan来变形，本题就会出现困难．解决有关tantan,tantan的式子时，经常要用到)tan(展开式及其变形公式．7分析：证明一个与n有关的式子)(nf能被一个数a（或一个代