图形的相似19个题

第1页（共26页）2018年10月23日151****0104的初中数学组卷一．选择题（共5小题）1．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）2．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：253．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）A．10，25B．10，36或12，36C．12，36D．10，25或12，364．如图，分别以直角三角形ABC的三边作正三角形，已知AC=6，AB=10，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，则S1+S3﹣S2的值为（）第2页（共26页）A．24B．48C．25D．505．如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（）A．3B．C．3或D．3或5二．填空题（共5小题）6．如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为．7．如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是．第3页（共26页）8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=，△ADE与△ABC的周长之比为，△CFG与△BFD的面积之比为．9．如图，正三角形△A1B1C1的边长为1，取△A1B1C1各边的中点A2、B2、C2，作第二个正三角形△A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3、B3、C3，作第三个正三角形△A3B3C3，…用同样的方法作正三角形则第10个正三角形△A10B10C10的面积是．三．解答题（共11小题）10．设x1，x2是关于x的方程x2﹣4x+k+1=0的两个实数根．请问：是否存在实数k，使得x1x2＞x1+x2成立？试说明理由．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．第4页（共26页）12．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．13．已知：关于x的方程x2﹣（k+1）+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值；（3）当k为何值时，矩形变为正方形？14．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．（1）求证：△ABD∽△CED．（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．15．已知==，且3a﹣2b+c=9，求2a+4b﹣3c的值．16．探究题：（1）在正△ABC中（图1），AB=2，AD⊥BC于D，求S△ABC．（2）在正△AB1C1中（图2），B1C1=2，AB2⊥B1C1于B2，以AB2为边作正△AB2C2，AC1、B2C2交于B3，以AB3为边作正△AB3C3，依此类推．①写出第n个正三角形的周长；（用含n的代数式表示）②写出第n个正三角形的面积．（用含n的代数式表示）第5页（共26页）17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．18．如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°，AB=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动，经过点B到达点C，设运动时间为t．（1）求出矩形ABCD的边长BC；（2）如图②，图形运动到第6秒时，求点P的坐标；（3）当点P在线段BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似？若能，求出t的值；若不能，说明理由．19．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．第6页（共26页）（1）问题发现①当α=0°时，=；②当α=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．20．已知正方形ABCD，点P是边AD上一点（不与点A、D重合）．（1）在图①中用直尺和圆规求作一点P，使得∠APB=60°（保留作图痕迹，不写作法）．（2）如图②，CE⊥BP，交AB于点E，垂足为O、M、N分别是BE、CP的中点，MN交BP、CE于点H、G．求证：OG=OH．（3）如图③，若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，连接BP并延长，与CD的延长线交于点F，在线段CF上找一点Q，使得△PFQ为等腰三角形，求DQ的长，直接写出结论．第7页（共26页）2018年10月23日151****0104的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．2．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）第8页（共26页）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴==，==，∴====∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选：D．3．已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要利用长度分别为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm）分别为（）A．10，25B．10，36或12，36C．12，36D．10，25或12，36【解答】解：（1）当以30cm的一根为边时．①30cm的边与△ABC中的20cm是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是75cm和90cm，它们的和大于60cm应舍去．②30cm的边与△ABC中的50cm是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，第9页（共26页）可求得另两边长是12cm和36cm，它们的和小于60cm符合条件．③30cm的边与△ABC中的60cm是对应边时，根据相似三角形的对应边成比例，可求得另两边长是10cm和25cm，它们的和小于60cm符合条件．（2）当以60cm的一根为边时，不论与哪一条边是对应边是对应边都不满足条件．故选：D．4．如图，分别以直角三角形ABC的三边作正三角形，已知AC=6，AB=10，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，则S1+S3﹣S2的值为（）A．24B．48C．25D．50【解答】解：如图，=25；同理可求：，；设S△ACD=α，S△BCE=β，S△ABC=γ，则S1+S3﹣S2=9﹣α+﹣β﹣（25﹣α﹣β﹣γ）=9﹣α+﹣β﹣25+α+β+γ=γ；γ=×6×8=24．故选：A．5．如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于B，第10页（共26页）若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（）A．3B．C．3或D．3或5【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=5；又∵∠PBF=90°，∴∠ABP=∠CBF=90°﹣∠CBP；若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则：①，即，解得BM=；②，即，解得BM=3；故选：C．二．填空题（共5小题）6．如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为（3，2）或（﹣9，﹣2）．第11页（共26页）【解答】解：∵y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，令x=0可得y=1；令y=0可得x=﹣3，∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，∴==，∴O′B′=2，AO′=6，∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．7．如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是（﹣2，）．【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，第12页（共26页）又∵B（3，﹣2）∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）；故答案为：（﹣2，）．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=2，△ADE与△ABC的周长之比为1：2，△CFG与△BFD的面积之比为1：6．【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点∴DE∥BC，DE=BC∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF∴DE=CF=1∴CF=BC，∴△ADE与△ABC的周长之比为DE：BC=1：2；∵△ADE与△ABC的面积之比为1：4；∴△ADE与四边形DECB的面积之比为1：3；∵△ADE与△DEG的面积之比为2：1；∴△CFG与△BFD的面积之比为1：6．9．如图，正三角形△A1B1C1的边长为1，取△A1B1C1各边的中点A2、B2、C2，作第二个正三角形△A2B2C2，再取△A2B2C2各边的中点A3、B3、C3，作第三个正三角形△