LMS自适应预测实验报告

LMS自适应线性预测实验报告一、实验要求首先由二阶AR模型产生自适应滤波器的输入信号)(nx，公式如下：)()2()1()(21nvnuanuanu其中)(nv为方差为2v的零均值高斯白噪声，模型参数1a与2a满足2214aa。二阶AR模型图如下：二阶AR模型框图得到自适应滤波器的输入信号)(nx后，通过二阶线性预测滤波器进行自适应线性预测，其框图如下：自适应线性滤波器采用LMS算法进行自适应线性预测，设第n次预测的权值向量HnwnwnW)](),([)(21，第n次预测的输入数据向量HnxnxnX)]2(),1([)(，)(nx的预测值)(ny经滤波过程产生，其公式如下：1z1z)(nv1a2a)(nx+)(ne)(nx)(ny—1z1z2w1w自适应算法)()1()(nXnWnyH误差信号计算公式如下：)()()(nynxne权值更迭公式如下：)()(2)1()(nXnenWnW其中为迭代因子。实验要求如下：（1）令1,0965.0,95.0,195.02221xvaa，迭代因子、数据长度N自定，给出LMS自适应预测的仿真结果，结果用权值)(),(21nwnw变化曲线以及误差平方)(2ne变化曲线表示，观察其收敛情况，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验。（2）条件与（1）相同，改变迭代因子的值，分别进行单次预测及800次预测取平均值两次实验，观察其收敛情况。（3）条件与（1）相同，但改变特征根扩散度minmax/，)1/()1(/2121minmaxaaaa，可通过改变21,aa的值实现，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验，观察其收敛情况。二、理论分析LMS算法的收敛是统计意义下的收敛问题，分别讨论其均值收敛及最小均方误差收敛。1.均值收敛由权值更迭公式可进行如下推导：)()(2)1()(nXnenWnW)]1()()()[(2)1(*nWnXndnXnWH)()(2)1()]()(2[*ndnXnWnXnXIH)]()([2)]1([)]}()([2{)]([*ndnXEnWEnXnXEInWEHxdxxrnWERI2)]1([]2[设k时刻权值误差向量optWkWkW)()(，则optxdxxWrkWRIkW2)1(]2[)(xdxxoptrkWRWkW2)1(2)1(xdoptxxrWkWRkW2])1([2)1()(2)]1(2)1([xdoptxxxxrWRkWRkW由维纳-霍夫方程xdoptxxrWR知，0)(2xdoptxxrWR，所以有)1(]2[)(kWRIkWxx因为xxR为Hermite矩阵，所以xxR可分解为HxxR，其中),...(1Mdiag，i为xxR的特征值，Mi,...2,1，设iq为特征值i对应的特征向量。所以有)1(]2[)(kWIkWH又因为为酉矩阵，HI，所以有)1(]2[)(kWIkWH令)()('kWkWH，则)1(]2[)(''kWIkW)1()21()(''kWkWiii)1()21()('0'kWkWkii对于所有的Mi,...2,1，如果1|21|i，当optiWkWkWk)(,0)(,'.所以LMS算法均值收敛的条件为max/10，其值越大，收敛速度越快。2.均方误差收敛由滤波公式及误差公式，得：)()1()()(nXnWndneH)]()()1([)]()([nXWnXnWnXWndHoptHHopt)()1()(0nXnWneH其中)(0ne为第n次预测权值最优时的预测误差。)]()()1([2)]1()()()1([)]([)]([*0202nenXnWEnWnXnXnWEneEneEHHH)]1([)]1([nWERnWExxHoptexopt当optexneEn)]([,0,2，LMS算法的均方误差收敛于最优预测权值的最小均方误差。三、实验结果及分析1.单次预测与多次预测取平均结果对比取02.0,1,0965.0,95.0,195.02221xvaa，分别进行单次预测及100次预测对其权值和均方误差取平均，对比实验结果。LMS算法权值收敛图单次LMS平方误差收敛图多次LMS平方误差收敛图由图可见，单次LMS算法的权向量不是收敛于最优值的，而是在最优值附近漂移，其平方误差也不是收敛的，而是在最优预测平方误差附近漂移，这是LMS算法每次迭代不严格按照真实梯度方向收敛所引起的。而多次LMS取平均后，这种随机性得到了抑制，可以看到其权值收敛于最优值。2.不同收敛因子值预测结果对比取1,0965.0,95.0,195.02221xvaa，再分别取05.0,02.0,005.0，对比实验结果。005.0权值收敛图02.0权值收敛图05.0权值收敛图005.0平方误差收敛图02.0平方误差收敛图05.0平方误差收敛图通过观察多次LMS权值收敛曲线及平方误差收敛曲线可以比较清晰地看见，收敛因子越大，收敛速度越快；通过观察单次LMS权值收敛曲线可见，收敛因子越大，预测权值在最优权值附近的波动就越大，这一点也可以从平方误差曲线收敛特点中观察到。可见，LMS算法的收敛速度与失调波动之间存在矛盾，设计收敛因子时需要折衷考虑。3.不同特征根扩散度minmax/预测结果对比取02.0,1,0965.0,95.0222xva，分别取9.1,65.1,195.01a，即分别取7712222.1/minmax，对比实验结果。222.1/minmax权值收敛图12/minmax权值收敛图77/minmax权值收敛图222.1/minmax平方误差收敛图12/minmax平方误差收敛图77/minmax平方误差收敛图由权值收敛图可见，改变minmax/，最优权值发生改变，由平方误差图可见，minmax/增加，最优预测下的均方误差减小，相应的LMS算法平方误差也减小，证明波动减小。从两种收敛图中都可以看出，minmax/越大，越远离1，收敛速度越慢，当77/minmax时甚至600个点都没有收敛。附页：Matlab程序代码