等差数列和公式

1.等差数列的定义：1(2)nnnaaadn是等差数列2.通项公式：1(1).naand3.重要性质:().⑴nmaanmd.⑵mnpqmnpqaaaa复习高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。高斯“神速求和”的故事:首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：1001015050.2求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=14×3+7=49.还有其它算法吗？情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得：(410)749.2S倒序相加法2(410)(59)(68)(77)(86)(95)(104)S(410)7.怎样求一般等差数列的前n项和呢？12,.nnnnanSSaaa设等差数列的前项和为即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nnaa1211nnnaaaaaa1().2nnnaaS新课等差数列的前n项和公式1(1)naand2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（公式1公式2dnnnaSn2)11（dnaan)1(1结论：知三求二思考：(2)在等差数列中，如果已知五个元素中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?na1,,,,nnaandS(1)两个求和公式有何异同点？1anan公式记忆1)2nnnaaS（11)2nnnSnad（——类比梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式的函数特征：21111222nddSnanndnan12,,,22nSAnddABaABnB设则是常数2200,.nnAdSnSAnBnyAxBx当即时是关于的二次函数式,即的图象是抛物线上的一群孤立的点特征：2(,)nnnanSAnBnABa数列的前项和为常数，则数列是不是一定是等差数列？思考：22(,)nnaASAnBnAB是公差为的等差数列为常数结论：2{}nnanSpnqnr问:如果一个数列的前项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列一定是等差数列吗？2{}nnanSpnqnr结论:如果一个数列的前项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列是等差数列当且仅当r=0例1、计算：(1)123(2)135(21)(3)2462(4)123456(21)2.nnnnn；；；(4)[135(21)](2462).nn解：原式(12)(34)(56)[(21)2].nn又解：原式(1)2nn2n(1)nn11)21)2nnnnaaSnnSnad（（举例例2、10,6,2,2,54等差数列前多少项的和是？1212,,10,6(10)4,54.(-1)-10454262709,3-10-6-22954nnnanSadSnnnnnnn设该等差数列为其前项和是则根据等差数列前项和公式，得整理得解得（舍去）因此，等差数列，，，，前项的和是注：本题体现了方程的思想.解：11)21)2nnnnaaSnnSnad（（123891012,75,.naaaaaaaS10数列为等差数列，若求例3、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，，10110910145.2Sad又解：1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即529145.1102938aaaaaa，整体运算的思想!11)21)2nnnnaaSnnSnad（（例4、2512151636,.naaaaaS在等差数列中，已知求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa818144.11)21)2nnnnaaSnnSnad（（*5|7,,100.MmmnnNm例、求集合且的元素，并求些元素的和1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。415211124462427(510)(2)27332(1)21.2nSadSSadadaannd，，，解：巩固练习61120,.naaS2、已知等差数列中，求解:61116202aaaa11111611()11220.2aaSa11)21)2nnnnaaSnnSnad（（1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;1n1()(()2(1))S2nnnaaSnnnad2、求和公式小结3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.②应用求和公式时一定弄清项数n.③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.nn4{a}nanS、已知数列前项和，求通项公式的方法；作业P45T1,T2（书上）P46A：T1-T4；，B1-B2（通用练习本）完成作业本等差数列前n项和（一）nnna对于一般数列前项和S与间的关系：1nnn-1n1an1.S，；SS，2.3等差数列的前n项和——性质及其应用（上）1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若.,133299bannTSnn求热身练习比值问题整体思想例1在等差数列na中，1030S，20100S，求30S。变式2．已知等差数列前n项和为nS，前2n项和为2nS，前3n项的和为3nS，证明nS，2nS-nS，3nS-2nS成等差数列变式1在等差数列na中，30nS，2100nS，求3nS。方法一：方程思想10S，2010SS，3020SS方法二：成等差数列等差数列前n项和性质：(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)12n11221223212233:,,,a,,,,,kkkkkkkbbbaaabaaabaaabkd1.已知是公差为d的等差数列，若，则成等差数列公差为:2nnannAB数列是公差为d的等差数列，则SnSAnBnnSn是等差数列，公差为A.nnn2.aan2nSSdn已知是公差为d的等差数列，为数列的前项和，则是等差数列，公差为.例2．在等差数列中，160a，1712a，（1）该数列第几项开始为正？（2）前多少项和最小，并求其最小值？（3）求na前n项和Sn？（4）求na前n项和Tn？等差数列前项和的最值问题：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用na:当1a0，d0，前n项和有最大值奎屯王新敞新疆（可由na≥0，且1na≤0，求得n的值）奎屯王新敞新疆当1a0，d0，前n项和有最小值奎屯王新敞新疆（可由na≤0，且1na≥0，求得n的值奎屯王新敞新疆）（2）利用nS：由n)2da(n2dS12n二次函数配方法求得最值时n的值奎屯王新敞新疆47137,0aaa且练习1、已知一个等差数列中满足{}.nnnSannS是数列的前项和，求为何值时取最大值9.n解：方法一471437033aada11437(1)()0334naanan111433()0.334naanan，练习{}nnSa是数列的前解：方法二471437033aada11(1)4()233nnnSnaa211235,3333anan对称轴且更接近9，所以n=9.35[8,9]4n47137,0aaa且练习1、已知一个等差数列中满足nnnS项和，求为何值时取最大值n471n2.a3a7aa0,annnnSS练习已知一个等差数列中满足，且是的前项和，求为何值时取最大值。n248n1aa0,,0n.SSS变式：等差数列中，求使得成立的最大自然数n389n2aaa0,0.SnS变式：等差数列中，为何值时最小？作业•P45练习T3（书本）•P46T5-------T6，P68T9（通用练习本）•完成作业本等差数列前n项和（二）—————性质以及应用（下）结论：设数列{}na是等差数列，且公差为d，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②1nnSaSa奇偶；等差数列奇，偶项和问题结论：设数列{}na是等差数列，且公差为d，（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n项，则①S奇S偶1naa中；②1SnSn奇偶．例1.在等差数列{}na中,前m项(m为奇数,且m大于1)和为77,其中偶数项和为33,且118maa,求这个数列的通项公式.例2．已知等差数列{}na的项数为偶数，且奇数的和为24，偶数项的和为30，最后一项与首项之差为10.5，求此数列的首项，公差及项数。例3．已知等差数列{}na的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。1、已知一个等差数列前12项的和是354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．分析：方法一：直接套用公式；方法二：利用奇数项与偶数项的关系．解：方法一：121121112354,2655.62322,6527622addadad练习1、已知一个等差数列前12项的和是354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．解：方法二：354,162,32,192,27SSSSSS奇偶奇奇偶偶3065.SSdd偶奇2、已知一个等差数列中d=0．5，100145,S13599.aaaa求的值分析：还是利用奇数项和偶数项之间的关系，相差一个公差d.解：设13599,aaaax24610050,aaaaxd则225145,60.xx1{}(1)1111223(1)nnnnn例1：求数列的前n项和S1{}3,2nnaadS12n变式：等差数列中，111为前n项和，求SSS求数列前n项和方法之一：裂项相消法设{an}是公差为d的等