相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段dcba,,,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb．②()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bcad（2）黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，即2ACABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC215≈0.618AB．即512ACBCABAC简记为：512长短＝＝全长注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：acabcdbdbd．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：dcdcbabaccdaabdcba等等．（4）等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca．FEDCBA知识点3比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCBCEFACDFABDEACDFDEEF或或或或等.特别在三角形中：由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或知识点4相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL”全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)、(HL）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL”（3）射影定理：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则∽＝＝＞AD2=BD·DC，∽＝＝＞AB2=BD·BC，∽＝＝＞AC2=CD·BC.知识点5相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．EABCDDBCA(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）(3)一线三等角的变形:知识点7等积式证明题常用方法归纳：(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。(4)添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。知识点8相似多边形的性质ABCDE12AABBCCDDEE12412(1)EABCD(3)DBCAE(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．知识点9位似图形有关的概念与性质（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.（3）位似图形的对应边互相平行或共线.（4）位似图形具有相似图形的所有性质.位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）知识点一：平行线成比例定理典型例题例1、如图，平行四边形ABCD中，上的一点，是43ECBEBCE，于点交FBDAEBF的值。及，求DFDABEcm6例2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E是CD的中点，AE交BD于F，则DF:FO＝_____。跟踪练习1：如图，平行四边形ABCD中，O1、O2、O3为对角线BD上三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连结AO1并延长交BC于点E，连结EO3并延长交AD于F，则AD:FD等于（）。FEDCBA第7题图FEBDACA、19:2；B、9:1；C、8:1；D、7:12、如图，在平行四边形ABCD中R在BC的延长线上，AR交BD于P，交CD于Q，若DQ∶CQ＝4:3，则AP∶PR＝3、(2015•湖南株洲,第7题3分)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()A．13B．23C．34D．454、（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．5、（2015•四川乐山,第5题3分）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．知识点二、相似三角形的判定QRPDCBA典型例题例1、如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，过点D垂直于直线AB的直线交BC与点F，交AC的延长线于点E，求证：DFDECD2例2、在⊿ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，CE∥AB，求证ACADDEAB例3、如图，在⊿ABC中，AD是角平分线，E是AD上的一点，且CE=CD，求证：ADACAEAB例4、已知，如图，在△ABC中，∠C=600，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，试说明△CDE∽△CBA。课后自我练习FABECDABCDEFABCDEABCDE1.如图，在△ABC中，AD为中线，CF为任意直线且交AD于点E，交AB于点F，求证：EDAE=FBAF22.如图，已知ABACBCADAEDE，试说明：AB·EC＝AC·BD。3.在△ABC中，M是AC边的中点，且AE=41BA，连接EM，并延长交BC的延长线于D，求证:BC=2CD4.已知，如图，F为ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说明AE2=EG·EFABCDEEDBCAFABCFGED5、已知：在△ABC中，∠BAC=900AD⊥BC于D，P为AD中点，BP延长线交AC于E，EF⊥BC于F，求证：EF2=AE·AC