复变函数教案第四章

《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章21章节名称：第四章学时安排：6学时教学要求：使学生掌握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定方法。教学内容：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定教学重点：幂级数的研究教学难点：幂级数收敛圆教学手段：课堂讲授教学过程：第四章级数§1、复数项级数1，复数列的极限：1）定义：设),2,1}({nn为一复数列，其中nnniba，又设iba为一确定的复数。如果任意给定0，相应地能找到一个正数)(N，使n在Nn时成立，那么称为复数列),2,1}({nn在n时的极限。记作nnlim。也称复数列),2,1}({nn收敛于iba。2）定理1：复数列),2,1}({nn收敛于iba的充要条件是aannlim，bbnnlim2，级数的概念：1）设),2,1}({}{nibannn为一复数列，表达式nnn211称为无穷级数，其最前面n项的和nns21称为级数的部分和。2）如果部分和数列}{ns收敛，那么级数1nn称为收敛。并且极限ssnnlim称为级数的和；如果数列}{ns不收敛，那么级数1nn称为发散。《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章223）定理2：级数1nn收敛的充要条件是级数1nna和级数1nnb都收敛。注意：定理2将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题，而由实数项级数1nna和1nnb收敛的必要条件0limnna，0limnnb可得0limnn，从而推出复数项级数1nn收敛的必要条件是0limnn4）定理3：如果1nn收敛，那么1nn也收敛，且不等式1nn1nn成立。注意：a）如果1nn收敛，那么称1nn为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数为条件收敛。b）1nn绝对收敛的充要条件是级数1nna和级数1nnb都绝对收敛5）正项级数的判别法举例（因为1nn的各项都是非负的实数，所以它的收敛性可用正项级数判别法）：例1，下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限。1）ninen)11(；2）innncos例2，下列级数是否收敛？是否绝对收敛？1）)1(11ninn；2）0!)8(nnni；3）1]21)1([nnnin（练习）§2、幂级数1，幂级数概念：1）复变函数项级数：设),2,1)}(({nzfn为一复变函数序列，其中各项在区域D内有定义，表达式)()()()(211zfzfzfzfnnn称为复变函数项级数，其最前面n项的和《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章23)()()()(21zfzfzfzsnn称为级数的部分和。2）如果对于D内的某一点0z，极限)()(lim00zszsnn存在，那么我们称复变函数项级数)()()()(211zfzfzfzfnnn在0z收敛。而)(0zs称为它的和；如果级数在D内处处收敛，那么它的和一定是z的一个函数)(zs：)()()()(21zfzfzfzsn)(zs称为级数)()()()(211zfzfzfzfnnn的和函数。3）幂级数：当11)()(nnnazczf或者11)(nnnzczf时，就得到函数项级数的特殊情形：nnnnnazcazcazccazc)()()()(22100或nnnnnzczczcczc22100这种级数称为幂级数。4）阿贝尔定理（收敛定理）：如果级数nnnnnzczczcczc22100在)0(0zz收敛，那么对满足0zz的z，级数级数必绝对收敛；如果在)0(0zz发散，那么对满足0zz的z，级数必发散。2，收敛圆与收敛半径利用阿贝尔定理，可以得到一个幂级数的收敛情况：1）如果一个幂级数对所有的正实数是收敛的，则级数在复平面内处处绝对收敛；2）如果一个幂级数对所有的正实数除0z外都是发散的，则级数在复平面内除原点外处处发散；3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的正实数，设z（正实数）时，级数收敛；z（正实数）时，级数发散，《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章24那么在以原点为中心，为半径的圆周内，级数绝对收敛；在以原点为中心，为半径的圆周外，级数发散；4）收敛圆与收敛半径例，求幂级数nnnzzzz201的收敛范围与和函数3，收敛半径的求法1）定理2（比值法）如果0lim1nnncc，那么级数nnnnnzczczcczc22100的收敛半径为1R。2）定理3（根值法）如果0limnnnc，那么级数nnnnnzczczcczc22100的收敛半径为1R。3）应用举例例，求下列幂级数的收敛半径：31nznn（并讨论在收敛圆上的情形）；nznn)1(1（并讨论在2,0z时的情形）；练习：求下列幂级数的收敛半径：nnzin)(cos0.4，幂级数的运算和性质1）展开成幂级数：例，把函数bz1表成形如nnnazc)(0的幂级数，其中ba,是不相等的复常数。2）复变幂级数的性质：《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章25复变幂级数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具有下列性质：定理4：设幂级数nnnazc)(0的收敛半径为R，那么1）它的和函数)(zf，即)(zf=nnnazc)(0是收敛圆：Raz内的解析函数；2）)(zf在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即)('zf=11)(nnnaznc3）)(zf在收敛圆内可以逐项积分，即dzzfC)(=dzazcnCnn)(0，RazC或dfza)(=10)(1nnnaznc§3、泰勒级数1，泰勒展开定理：设)(zf在区域D内解析，0z为D内一点，d为0z到D的边界上各点的最短距离，那么当dzz0时，)(zf=nnnzzc)(00成立，其中.,2,1,0),(!10)(nzfncnn注意：1）泰勒展开式)(zf=nnnzzc)(00的右边即)(zf得泰勒级数；2）泰勒级数收敛半径为0z到)(zf的最近奇点的距离。3）任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，而且是唯一的。2，应用举例：例1，把zzezcos,sin,展开成z的幂级数。例2，把函数2)1(1z展开成z的幂级数。例3，求对数函数的主值)1ln(z在0z处的泰勒展开式。《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章26练习题：P.143，12题（1，3，4，5，6）§4、洛朗级数1，一类特殊级数：nnnzzc)(0nnzzc)(0+0101)(czzc)(01zzc+nnzzc)(0其中),2,1,0(,0nczn都是常数。1）正幂项部分nnnzzc)(00是一个通常的幂级数，它的收敛范围是一个圆域，设它的收敛半径为2R，那么当20Rzz时，级数收敛；当20Rzz时，级数发散。2）负幂项部分对nnnzzc)(01，令10)(zz，则nnnzzc)(01nnnc1，设它的收敛半径为R，那么当R时，级数收敛；当R时，级数发散。令11RR，则当10Rzz时，级数收敛；当10Rzz时，级数发散。3）级数nnnzzc)(0nnzzc)(0+0101)(czzc)(01zzc+nnzzc)(0当正幂项部分和负幂项部分同时收敛时为收敛；否则为发散。显然，当21RR时，201RzzR为正幂项部分和负幂项部分的公共收敛区域，此时，圆环域201RzzR为上述级数的收敛域；当21RR时，没有公共收敛区域，级数发散。4）幂级数在收敛圆内所具有的许多性质，级数nnnzzc)(0nnzzc)(0+0101)(czzc)(01zzc+nnzzc)(0在收敛圆环域内也具有。例如，级数在收敛圆环域内其和函数是解析的，而且可以逐项求导和逐项求积分。2，定理：设)(zf在圆环域201RzzR内处处解析，那么《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章27)(zf=nnnzzc)(0成立，其中).,2,1,0(,)()(2110ndzficCnn注意：1）洛朗展开式)(zf=nnnzzc)(0的右边即洛朗级数；2）任何解析函数在收敛圆环域内展开成级数的结果就是洛朗级数，而且是唯一的。3，应用举例：例1，函数)2)(1(1)(zzzf在圆环域：1）10z2）21z3）z2内是处处解析的，试把它在这些区域内展开成洛朗级数。例2，把函数zezzf13)(在z1内展开成洛朗级数。4，利用洛朗级数展开式计算相关积分。公式：Cicdzzf12)(例3，求下列各积分的值1）3)4)(1(1zdzzzz2）211zzdzzze练习题：P.144，16题（5）教学小结：1，复数列和复数项级数的收敛定义与实数域内数列和级数的收敛定义完全一样；2，函数项级数3，泰勒展开定理：设)(zf在区域D内解析，0z为D内一点，d为0z到D的边界上各点的最短距离，那么当dzz0时，《复变函数与积分变换》教案《复变函数》第四章28)(zf=nnnzzc)(00成立，其中.,2,1,0),(!10)(nzfncnn注意：1）)(zf=nnnzzc)(00右边即)(zf得泰勒级数；2）任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，而且是唯一的。4，设)(zf在圆环域201RzzR内处处解析，那么)(zf=nnnzzc)(0成立，其中).,2,1,0(,)()(2110ndzficCnn注意：1）洛朗展开式)(zf=nnnzzc)(0的右边即洛朗级数；2）任何解析函数在收敛圆环域内展开成级数的结果就是洛朗级数，而且是唯一的。5，能灵活运用上述两个展开定理在圆域或圆环域内展开解析函数。作业布置：第四章习题（P.142）3（3）；6（3）；11（1，3）；12（2）；16（1，2，3）预习：第五章