第11讲.全等三角形中的倍长类中线.教师版

板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．重、难点知识点睛中考要求第十一讲全等三角形中的倍长类中线版块一、倍长中线【例1】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．AMDCB【解析】如图所示，延长AM到D，使DMAM，连结BD，利用SAS证得ACM≌DBM，∴BDACABD中，ADABBD，∴2AMABAC∴1()2AMABAC【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC中，5,9ABAC，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【解析】中线倍长，27AD【例2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理以及中线的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲求证：ACBE．FEDCBAGFEDCBA【解析】延长AD到G，使DGAD，连结BG∵BDCD，BDGCDA，ADGD∴ADCGDB≌∴ACGB．GEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例3】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．FGEDCBAHAFGBEDC【解析】延长FE到点H，使HEFE，连结BH．在CEF和BEH中CEBECEFBEHFEHE∴CEFBEH≌∴EFCEHB，CFBHBG∴EHBBGE，而BGEAGF∴AFGAGF又∵EFAD∥∴AFGCAD，AGFBAD∴CADBAD∴AD为ABC的角平分线．【例4】如图，ABC中，ABAC，AD是中线．求证：DACDAB．DCBAEABCD【解析】延长AD到E，使ADDE，连结BE．在ADC和EDB中ADEDADCEDBDCDB∴ADCEDB≌∴ACEB，CADBEA在ABE中，∵ABAC，∴ABEB∴AEBEAB，∴DACDAB．(如果取AB中点用中位线也可证，目前还不能)【例10】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB，ACAC，ADAD，求证ABCABC≌．EDCABB'A'C'D'E'【解析】如图所示，分别延长AD、AD至E、E，使DEAD，DEAD．连接BE、BE，则2AEAD，2AEAD．因为ADAD，所以AEAE．在ADC和EDB中，ADED，ADCEDB，BDCD，故ADCEDB≌，从而ACEB，ECAD．同理，'ADCEDB≌，则ACEB，ECAD．因为ACAC，所以BEBE．在ABE和ABE中，ABAB，BEBE，AEAE，所以ABEABE≌，从而EE，BAEBAE，故CADEECAD，则BACBAC．在ABC和ABC中，ABAB，BACBAC，ACAC，故ABCABC≌．【例5】已知△ABC，BACB，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．4321GEDCBAFEGDCBA【解析】(等腰三角形、线段相等)(一)过E作EF∥AB，交BC的延长线于F，则∠B=∠F∵∠3=∠4，∠3=∠B∴∠4=∠F∴CE=EF在△GEF与△GDB中，12DBCEEFBF∴△GFE≌△GBD∴DGGE证明(二)4321FKGEDCBA过D，E分别作直线DK⊥CB，EF⊥CB∵∠1=∠2∠2=∠B∴∠1=∠B又∵BD=CE∴Rt△BDK≌△CEF∴DK=EF又∵∠3=∠4．∴Rt△DKG≌Rt△EFG∴GD=GE证明(三)FK1EGDCBA过D点作DK∥AC交BC于K过D点作DF∥BC交AC于F∴四边形DKCF是开行四边形∴DK=FC∠1=∠C∵∠C=∠B∴∠1=∠B∴DB=DK=CE=CF∴C是EF中点，∴BC∥DF∴G是DE中点，∴DG=EG注(此题还有他法，可补充)【例6】在RtABC中，90A，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？FEDCBAGAEBDCF【解析】延长FD到点G，使FDGD，连结EG、BG．在CDF和BDG中CDBDCDFBDGFDGD∴CDFBDG≌∴BGCF，FCDGBD∵90A∴90ABCACB∴90ABCGBD在EDF和EDG中90EDEDEDFEDGFDGD∴EDFEDG≌∴EFEG故以线段BE、EF、FC为边能构成一个直角三角形．【巩固】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．NMDCBAENMDCBA【解析】延长ND至E，使DEDN，连接EB、EM、MN．因为DEDN，DBDC，BDECDN，则BDECDN≌．从而BECN，DBEC．而DEDN，90MDN，故MEMN，因此2222DMDNMNME，即222BMBEME，则90MBE，即90MBDDBE．因为DBEC，故90MBDC，则90BAC．AD为RtABC斜边BC上的中线，故12ADBC．由此可得22221144ADBCABAC．【例7】已知AM为ABC的中线，AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．MFECBANMFECBA【解析】延长FM到N，使MNMF，连结BN、EN．易证BNM≌CFM，∴BNCF，又∵AMB，AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F，∴90EMFEMN，利用SAS证明EMN≌EMF，∴ENEF，在EBN中，BEBNEN，∴BECFEF．【例11】如图所示，90BACDAE，M是BE的中点，ABAC，ADAE，求证AMCD．MEDCBAFNOHABCDEM【解析】如图所示，设AM交DC于H，要证明AMCD，实际上就是证明90AHD，而条件BMME不好运用，我们可以倍长中线AM到F，连接BF交AD于点N，交CD于点O．容易证明AMEFMB≌则AEFB，EAFF，从而AEFB∥，90ANF而90CADDAB，90DABABN，故CADABN从而CADABF≌，故DF而90DDONFOHF故90AHD，亦即AMCD．【巩固】已知在ABC中，AD是中线，P是AD上的任意一点，CFAB∥且交BP的延长线于点F，BF交AC于E，求证2PBPEPF．EFPCBDANMEFPCBDA【解析】如图所示，延长AD交FC的延长线于点M，使得MDDA,在DM上取点N，使PDDN，连接CM、CN．因为CFAB∥，BDCD，ADBMDC，故ADB≌MDC，ABCM．同理，CNBP，CNPF∥，故NCMCPFMF．同理，PEAENCAC．因为CFAB∥，故AEABABABMCACABCFMCCFFMFM，从而NCPEPFCN，即2CNPEPF，则2PBPEPF．【例8】(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：BCEFDE≌．DFECBA【解析】∵点E是DC中点∴DECE又∵ADBC∥，F在AD延长线上∴DFECBE，FDEBCE在BCE与FDE中EBCEFDECBEDFCEDE∴()BCEFDEAAS≌【例9】(浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE∥．求证：BDECDF≌．FEDCBA【解析】∵CFBE∥，∴EBDFCD．又∵BDECDF，BDCD，∴BDECDF≌．【例12】(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．图6GEFDBCA【解析】如图、延长DF至点G，使得DFFG，联结GB、GE．由AFFB，有ADFBGF≌3BGADADFBGFADGB∥180GBEACB90GBE225GEGBEB．又DFFG，EFDG5DEGE．版块二、中位线的应用【例13】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：13AEAC．FADECBFADEGCB【解析】取EC的中点G，连接DG易得DGBE∥，F为AD的中点，所以AEEG，从而可证得：13AEAC．【例14】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．EDCBAFABCDEGABDEC【解析】解法一：如图所示，延长CE到F，使EFCE．容易证明EBFEAC≌，从而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACBBACABC，CBFABCFBAABCCAB，故CBFCBD，而BC公用，故CBFCBD≌，因此2CDCFCE．解法二：如图所示，取CD的中点G，连接BG．因为G是CD的中点，B是AD的中点，故BG是DAC的中位线，从而1122BGACABBE，由BGAC∥可得GBCACBABCEBC，故BCEBCG≌，从而ECGC，2CDCE．【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CEEDCBA54321KEDCBA【解析】(等边、中点、线段倍数)(一)延长CE到K，使CE