二次函数的图像及性质专项练习

..二次函数的图像与性质专项练习【知识要点】1．二次函数：形如的函数叫做二次函数.2．二次函数的图像性质：（1）二次函数的图像是；（2）二次函数),,,0(2为常数cbaacbxaxy通过配方可得cbaaabacabxay,,,0(44)2(22为常数），其顶点坐标为。（3）当0a时，抛物线开口，并向上无限延伸；在对称轴左侧)2(abx即时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧)2(abx即时，y随x的增大而增大；当abx2时，函数有.当0a时，抛物线开口，并向下无限延伸；在对称轴左侧)2(abx即时，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧)2(abx即时，y随着x的增大而减小；当,2时abx函数有。3．二次函数的图像平移：（1）二次函数khxayhxayaxy222)(,)(,的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同（a的取值决定抛物线的形状）.将2axy的图像向右（h0）、向左（h0）平移h个单位，就得到函数2)(hxay的图像；再将此抛物线向上(k0)、向下(k0)平移k个单位得到函数khxay2)(的图像.上述平移的规律是：“h值正、负、右、左移；k值正、负、上、下移.”4.抛物线与坐标轴的交点：（1）抛物线).,0(2cycbxaxy轴交于点与（2）若方)0,)(0,(,,0212212xxxcbxaxyxxcbxax轴点交则抛物线有两根核心考点突破考点㈠二次函数的图像性质例1定义[,,abc]为函数2yaxbxc的特征数,下面给出特征数为[2m，1–m,–1–m]..的函数的一些结论：①当m=–3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)；②当m0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于23；③当m0时，函数在x41时，y随x的增大而减小；④当m0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④变式训练1.已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.0aB.0cC.240bacD.0abc第（1）题第（3）题2．已知二次函数2yaxbxc(0a)的图象如图所示，有下列结论：（）①240bac；②0abc；③80ac；④930abc．3.已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc；②cab；③024cba；④bc32；⑤)(bammba，（1m的实数）其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个考点㈡二次函数图像平移例2.抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为（）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2变式训练1．把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（）2.若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则第（2）题yxO1x12..·Oyx1E（x，122xx）可以由E（x，2x）怎样平移得到？3．如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线nmxay2)(的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为()A．－3B．1C．5D．8考点㈢确定二次函数解析式例3如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且2OBOA，点A的坐标是(12)，．（1）求点B的坐标；（2）求过点AOB、、的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得ABPABOSS△△．变式训练1．二次函数23yxmx的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是．第2题图2．已知二次函数221yxaa（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当1a，0a，1a，2a时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y.3.如图，已知二次函数cbxxy221的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积。yxO（第3题）DCB(4,4)A(1,4)yOBAx11（例3图）第1题图yxCAOAByxO..4．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB＝4．(1)求抛物线的解析式；(2)若S△APO＝23，求矩形ABCD的面积．5.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．考点⑷确定二次函数与方程、不等式、一次函数、反比例函数例1.抛物线cbxaxy2图像如图所示，则一次函数24bacbxy与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图像大致为（）yxCBOA第5题图xxxxx..ABxOy第15题图变式训练1.若正比例函数2ykx与反比例函数0kykx的图象交于点1Am，，则k的值是（）.考点5二次函数与几何的综合题例5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（2，2），连结OB、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．变式训练1．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A)0,4(，B)4,0(，C)0,2(三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线xy上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．MCBAOxy第1题第2题2.在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)过Ｃ点作CD平行于x轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的PACDEBoxy111..坐标；(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.基础演练1.若二次函数52bxxy配方后为kxy2)2(则b、k的值分别为（）2.在直角坐标系中，若解析式为5422xxy的图像沿着x轴向左平移两个单位，再沿着y轴向下平移一个单位，此时图像的解析式为（）3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．4．如图，两条抛物线12121xy、12122xy与分别经过点0,2,0,2且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（）Ａ．8Ｂ．6Ｃ．10Ｄ．45.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.(4题图)..第7题6.二次函数1)1(2xy，当21y时，x的取值范围是_____________7．图为二次函数2yaxbxc的图象，给出下列说法：①0ab；②方程20axbxc的根为1213xx，；③0abc；④当1x时，y随x值的增大而增大；⑤当0y时，13x．其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）8．已知点A（1，1）在二次函数22yxaxb图像上。（1）用含a的代数式表示b；（2）如果该二次函数的图像与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。9．一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．能力提升1．方程x2+2x－1=0的根可看成函数y=x+2与函数1yx的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x3+x－1=0的实根x所在范围为（）A．102xB．102xC．112xD．2．已知实数yxyxxyx则满足,033,2的最大值为3．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B第9题图BDACOxy..xyOx＝1第3题ACB（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．4．已知二次函数2yxbxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…101234…y…1052125…（1）求该二次函数的关系式；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若1()Amy，，2(1)Bmy，两点都在该函数的图象上，试比较1y与2y的大小．5．已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3).（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.6．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x……y……（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．..7．如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．-5-4-3-2-1O12345xy-11CEDGAxyOBF